Номер 597, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 597, страница 158.

Условие.

597 Катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Выразите через $a$ и $b$ гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при $a=12$, $b=15$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$. Обозначим гипотенузу через $c$, а острые углы, противолежащие катетам $a$ и $b$, — через $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

Выражение гипотенузы и тангенсов острых углов через $a$ и $b$

Для нахождения гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $c^2 = a^2 + b^2$. Выражая $c$, получаем: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\alpha$, противолежащего катету $a$, имеем: $\tan\alpha = \frac{a}{b}$ Для угла $\beta$, противолежащего катету $b$, имеем: $\tan\beta = \frac{b}{a}$

Нахождение их значений при $a=12, b=15$

Теперь подставим заданные значения $a=12$ и $b=15$ в выведенные формулы. Вычислим длину гипотенузы: $c = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369}$ Упростим полученный корень, вынеся множитель из-под знака корня. Так как $369 = 9 \cdot 41$, то: $c = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41}$

Вычислим значения тангенсов: $\tan\alpha = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$ $\tan\beta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$

Ответ: гипотенуза выражается формулой $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, а тангенсы острых углов — формулами $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$. При $a=12$ и $b=15$ их значения соответственно равны: гипотенуза $3\sqrt{41}$, тангенсы $0.8$ и $1.25$.