Номер 603, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 603, страница 158.

Условие.

603. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ равна 12 см, а угол $BAD$ равен $47^\circ 50'$. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ $BD$ перпендикулярна к стороне $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$.
Дано, что сторона $AD = 12$ см, а угол $\angle BAD = 47^\circ50'$.

По условию, диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle ABD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он является прямоугольным, так как $\angle ABD = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• $AD$ — гипотенуза, $AD = 12$ см.
• $AB$ и $BD$ — катеты.
• $\angle BAD = 47^\circ50'$ — острый угол.

Мы можем найти длины катетов $AB$ и $BD$ с помощью тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике:

• Прилежащий катет $AB = AD \cdot \cos(\angle BAD) = 12 \cdot \cos(47^\circ50')$.
• Противолежащий катет $BD = AD \cdot \sin(\angle BAD) = 12 \cdot \sin(47^\circ50')$.

Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними: $S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$.

Подставим в эту формулу найденное выражение для стороны $AB$: $S_{ABCD} = (12 \cdot \cos(47^\circ50')) \cdot 12 \cdot \sin(47^\circ50')$.
$S_{ABCD} = 144 \cdot \sin(47^\circ50') \cdot \cos(47^\circ50')$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$. $S_{ABCD} = 72 \cdot (2 \cdot \sin(47^\circ50') \cdot \cos(47^\circ50')) = 72 \cdot \sin(2 \cdot 47^\circ50')$.

Вычислим значение двойного угла: $2 \cdot 47^\circ50' = 94^\circ100'$.
Поскольку $1^\circ = 60'$, то $100' = 1^\circ40'$.
$94^\circ100' = 94^\circ + 1^\circ40' = 95^\circ40'$.

Итак, площадь параллелограмма равна: $S_{ABCD} = 72 \cdot \sin(95^\circ40')$.

Используя калькулятор или тригонометрические таблицы, находим значение синуса: $\sin(95^\circ40') \approx 0.9951$.

Теперь вычислим площадь: $S_{ABCD} \approx 72 \cdot 0.9951 \approx 71.6472$ см$^2$.

Округлим результат до сотых.

Ответ: $S_{ABCD} \approx 71.65$ см$^2$.