Номер 7, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 7, страница 159.

Условие.

7 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы (третий признак подобия треугольников)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответственным сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Пусть даны два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых стороны пропорциональны:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Докажем, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Для доказательства подобия этих треугольников достаточно доказать равенство их соответственных углов. Построим треугольник $\triangle A_2BC$ так, чтобы его углы при вершинах $B$ и $C$ были соответственно равны углам $\angle B_1$ и $\angle C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $\angle A_2BC = \angle A_1B_1C_1$ и $\angle A_2CB = \angle A_1C_1B_1$.

По построению, треугольники $\triangle A_2BC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Из подобия следует пропорциональность их сторон:

$\frac{A_2B}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{A_2C}{A_1C_1}$

Сравнивая это соотношение с условием теоремы ($\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$), мы видим, что из равенства отношений $\frac{A_2B}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$ и $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$ следует, что $A_2B = AB$. Аналогично, из равенства отношений $\frac{A_2C}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$ и $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$ следует, что $A_2C = AC$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_2BC$. У них сторона $BC$ – общая, а стороны $AB$ и $A_2B$, $AC$ и $A_2C$ попарно равны. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle ABC \cong \triangle A_2BC$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответственных углов: $\angle ABC = \angle A_2BC$ и $\angle ACB = \angle A_2CB$.

Учитывая, что по построению $\angle A_2BC = \angle A_1B_1C_1$ и $\angle A_2CB = \angle A_1C_1B_1$, получаем:

$\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ и $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$.

Поскольку два угла треугольника $\triangle ABC$ равны двум соответственным углам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия. Теорема доказана.

Ответ: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответственным сторонам другого, то такие треугольники подобны.