Номер 10, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 10, страница 159.

Условие.

10 Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Сформулируйте утверждение

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два треугольника, которые подобны исходному треугольнику и подобны друг другу.

Докажите утверждение

Пусть в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Проведём высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. Эта высота разделяет треугольник $\triangle ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$.

Необходимо доказать, что $\triangle ACH \sim \triangle ABC$, $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ и, как следствие, $\triangle ACH \sim \triangle CBH$.

1. Доказательство подобия $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$.
- Угол $\angle A$ у них общий.
- Угол $\angle AHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота, а угол $\angle ACB = 90^\circ$ по условию. Следовательно, $\angle AHC = \angle ACB$.
Таким образом, треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

2. Доказательство подобия $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$.
Рассмотрим треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$.
- Угол $\angle B$ у них общий.
- Угол $\angle CHB = 90^\circ$, так как $CH$ — высота, а угол $\angle ACB = 90^\circ$ по условию. Следовательно, $\angle CHB = \angle ACB$.
Таким образом, треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

3. Доказательство подобия $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$.
Из пунктов 1 и 2 мы установили, что $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ и $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.
По свойству транзитивности подобия, если два треугольника подобны третьему, то они подобны и между собой.
Следовательно, $\triangle ACH \sim \triangle CBH$.

Таким образом, утверждение полностью доказано. Высота, проведённая из вершины прямого угла, разделяет прямоугольный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному, и они подобны между собой.

Ответ: Утверждение сформулировано и доказано.