Номер 6, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 6, страница 158.

Условие.

6 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы (Второй признак подобия треугольников)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Дано:

$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$

1) $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

2) $\angle A = \angle A_1$

Доказать:

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$

Ход доказательства:

1. Наложим $\triangle A_1B_1C_1$ на $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с вершиной $A$, а лучи $A_1B_1$ и $A_1C_1$ наложились на лучи $AB$ и $AC$ соответственно. Это возможно, так как по условию $\angle A = \angle A_1$. Пусть треугольник $A_1B_1C_1$ при этом наложении отобразится в треугольник $AB_2C_2$.

2. Из такого построения следует, что $\triangle AB_2C_2$ равен $\triangle A_1B_1C_1$. Следовательно, $AB_2 = A_1B_1$ и $AC_2 = A_1C_1$. Для доказательства теоремы достаточно показать, что $\triangle ABC \sim \triangle AB_2C_2$.

3. Заменим в исходном соотношении $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$ отрезки $A_1B_1$ и $A_1C_1$ на равные им отрезки $AB_2$ и $AC_2$. Получим пропорцию:

$\frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2}$

4. Это равенство означает, что прямая $B_2C_2$ отсекает на сторонах угла $A$ пропорциональные отрезки. По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках (обобщённой теореме Фалеса), прямая $B_2C_2$ параллельна прямой $BC$.

5. Поскольку $B_2C_2 \parallel BC$, то соответственные углы при пересечении этих параллельных прямых секущими $AB$ и $AC$ равны:

$\angle AB_2C_2 = \angle ABC$

$\angle AC_2B_2 = \angle ACB$

6. Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $AB_2C_2$. У них есть два соответственно равных угла: $\angle A$ — общий, и $\angle ABC = \angle AB_2C_2$. Следовательно, по первому признаку подобия (по двум углам), $\triangle ABC \sim \triangle AB_2C_2$.

7. Так как $\triangle ABC \sim \triangle AB_2C_2$ и $\triangle AB_2C_2 = \triangle A_1B_1C_1$, то из этого следует, что $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема, выражающая второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), формулируется так: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Доказательство теоремы приведено выше.