Номер 12, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 12, страница 159.

Условие.

12 Приведите пример решения задачи на построение методом подобия.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Метод подобия в задачах на построение заключается в том, чтобы сначала построить фигуру, подобную искомой, отбросив одно из условий задачи (обычно связанное с размерами), а затем, используя свойства подобных фигур, построить саму искомую фигуру. Чаще всего для перехода от вспомогательной фигуры к искомой используется преобразование гомотетии.

Рассмотрим применение этого метода на классической задаче.

Задача: Вписать в данный треугольник $ABC$ квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании $AC$, а две другие — на сторонах $AB$ и $BC$.

Решение этой задачи можно разбить на четыре стандартных этапа: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Предположим, что задача решена и искомый квадрат $KLMN$ построен. Вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AC$, вершина $N$ — на стороне $AB$, а вершина $M$ — на стороне $BC$.

Идея метода подобия состоит в том, чтобы временно проигнорировать одно из условий. Давайте проигнорируем требование, чтобы вершина $M$ лежала на стороне $BC$. Построим какой-нибудь квадрат, удовлетворяющий остальным условиям. То есть, такой квадрат $K_1L_1M_1N_1$, у которого вершины $K_1$ и $L_1$ лежат на стороне $AC$, а вершина $N_1$ — на стороне $AB$.

Такой "вспомогательный" квадрат построить легко. Выберем на стороне $AB$ произвольную точку $N_1$, опустим из нее перпендикуляр $N_1K_1$ на $AC$ и на отрезке $N_1K_1$ как на стороне построим квадрат $K_1L_1M_1N_1$.

Теперь сравним построенный квадрат $K_1L_1M_1N_1$ и искомый $KLMN$. Оба квадрата имеют по две вершины на прямой $AC$, и их стороны, перпендикулярные $AC$, параллельны друг другу. Вершины $N_1$ и $N$ лежат на одной прямой $AB$. Это наводит на мысль, что искомый квадрат $KLMN$ гомотетичен вспомогательному квадрату $K_1L_1M_1N_1$ с центром гомотетии в точке $A$.

При такой гомотетии точка $N_1$ переходит в точку $N$. Тогда и весь квадрат $K_1L_1M_1N_1$ перейдет в квадрат $KLMN$. В частности, вершина $M_1$ перейдет в вершину $M$. Это означает, что точки $A$, $M_1$ и $M$ лежат на одной прямой. Поскольку точка $M$ по условию должна лежать на стороне $BC$, мы можем найти ее как точку пересечения луча $AM_1$ и стороны $BC$. Это наблюдение является ключом к построению.

Построение

1. Выбираем на стороне $AB$ произвольную точку $N_1$.
2. Опускаем из точки $N_1$ перпендикуляр $N_1K_1$ на прямую $AC$.
3. На этой перпендикулярной прямой откладываем отрезок $N_1M_1$ (наружу от треугольника) и на прямой $AC$ отрезок $K_1L_1$ так, чтобы $K_1L_1M_1N_1$ был квадратом ($K_1L_1 = N_1K_1$).
4. Проводим луч $AM_1$. Находим точку $M$ его пересечения со стороной $BC$. Эта точка будет одной из вершин искомого квадрата.
5. Из точки $M$ опускаем перпендикуляр $ML$ на сторону $AC$. Длина отрезка $ML$ будет стороной искомого квадрата.
6. Через точку $M$ проводим прямую, параллельную $AC$, до пересечения со стороной $AB$ в точке $N$.
7. Из точки $N$ опускаем перпендикуляр $NK$ на сторону $AC$.
8. Четырехугольник $KLMN$ — искомый квадрат.

Доказательство

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $A$, которая переводит точку $M_1$ в точку $M$. По построению точки $A, M_1, M$ лежат на одной прямой. Докажем, что эта гомотетия переводит вспомогательный квадрат $K_1L_1M_1N_1$ в построенный четырехугольник $KLMN$ и что $KLMN$ является квадратом, удовлетворяющим условиям задачи.

Гомотетия переводит прямые в параллельные им прямые. Так как $N_1K_1 \parallel MK$, $K_1L_1 \parallel KL$ (лежат на одной прямой $AC$) и $L_1M_1 \parallel LM$, то четырехугольник $K_1L_1M_1N_1$ перейдет в четырехугольник $KLMN$. Поскольку гомотетия является преобразованием подобия, она сохраняет форму фигуры. Следовательно, четырехугольник $KLMN$ является квадратом, так как он является образом квадрата $K_1L_1M_1N_1$.

Проверим расположение вершин:

• Вершины $K$ и $L$ лежат на $AC$ по построению.
• Вершина $M$ лежит на $BC$ по построению (как точка пересечения $AM_1$ и $BC$).
• Вершина $N$ лежит на $AB$, так как является образом точки $N_1 \in AB$ при гомотетии с центром $A$, а прямая $AB$ при этой гомотетии переходит в себя.

Таким образом, построенный квадрат $KLMN$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение всегда возможно, если треугольник $ABC$ невырожденный. Луч $AM_1$ всегда пересечет отрезок $BC$ в единственной точке (если углы $A$ и $C$ острые; если один из них тупой, построение немного изменится, но решение все равно существует).

Выбор начальной точки $N_1$ на стороне $AB$ не влияет на конечный результат. Любая другая точка $N'_1$ привела бы к построению другого вспомогательного квадрата $K'_1L'_1M'_1N'_1$, который также был бы гомотетичен искомому квадрату с центром в точке $A$. Луч $AM'_1$ совпал бы с лучом $AM_1$, что привело бы к той же самой точке $M$ на стороне $BC$. Следовательно, задача всегда имеет единственное решение.

Ответ: Приведен пример решения задачи о вписывании квадрата в треугольник методом подобия. Решение состоит из четырех этапов: анализа, построения, доказательства и исследования. Суть метода заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой, с последующим применением преобразования гомотетии для нахождения окончательного решения. Задача для невырожденного треугольника всегда имеет единственное решение.