Номер 5, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 5, страница 158.

Условие.

5 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство теоремы

Пусть даны два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$, у которых по условию $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$.

Дано: $\triangle ABC$, $\triangle A_1B_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$.
Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
Согласно определению подобных треугольников, нам необходимо доказать две вещи: во-первых, что все углы у этих треугольников соответственно равны, и, во-вторых, что их сходственные стороны пропорциональны.

1. Равенство углов.
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.
Для $\triangle ABC$ имеем: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$.
Для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: $\angle C_1 = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1$.
Поскольку по условию $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то из предыдущих равенств следует, что $\angle C = \angle C_1$.
Таким образом, все углы $\triangle ABC$ соответственно равны углам $\triangle A_1B_1C_1$.

2. Пропорциональность сторон.
Нам нужно доказать, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.
Рассмотрим треугольник $\triangle A_1B_2C_2$, который является копией $\triangle ABC$, совмещенной с $\triangle A_1B_1C_1$. Для этого на стороне $A_1B_1$ отложим отрезок $A_1B_2$, равный $AB$. Через точку $B_2$ проведем прямую, параллельную $B_1C_1$, которая пересечет сторону $A_1C_1$ в точке $C_2$.
Рассмотрим полученный $\triangle A_1B_2C_2$. В нем:
- $\angle A_1$ — общий угол.
- $\angle A_1B_2C_2 = \angle A_1B_1C_1$ как соответственные углы при параллельных прямых $B_2C_2$ и $B_1C_1$ и секущей $A_1B_1$.
Сравним $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_2C_2$:
- $\angle A = \angle A_1$ (по условию).
- $AB = A_1B_2$ (по построению).
- $\angle B = \angle B_1 = \angle A_1B_1C_1 = \angle A_1B_2C_2$ (по условию и из свойства параллельных прямых).
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_2C_2$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства этих треугольников следует, что $AC = A_1C_2$.
Теперь применим теорему о пропорциональных отрезках (обобщенную теорему Фалеса) к $\triangle A_1B_1C_1$. Прямая $B_2C_2$ параллельна стороне $B_1C_1$ и пересекает стороны $A_1B_1$ и $A_1C_1$. Значит, она отсекает отрезки, пропорциональные этим сторонам:
$\frac{A_1B_2}{A_1B_1} = \frac{A_1C_2}{A_1C_1}$.
Заменив в этой пропорции $A_1B_2$ на $AB$ и $A_1C_2$ на $AC$ (на основании равенства треугольников), получим:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.
Аналогичным образом, построив треугольник, равный $\triangle ABC$, но отталкиваясь от вершины $B_1$, можно доказать, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$.
Таким образом, мы установили, что все три отношения равны:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Поскольку мы доказали, что все углы треугольников соответственно равны и их сходственные стороны пропорциональны, то по определению $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Теорема доказана.

Ответ: