Номер 8, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 8, страница 159.

Условие.

8 Какой отрезок называется средней линией треугольника?

Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какой отрезок называется средней линией треугольника?

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Ответ: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

Формулировка теоремы: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Доказательство:

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией, где $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $BC$. Необходимо доказать, что $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$.

1. Угол $B$ ( $\angle MBN$ ) является общим для обоих треугольников.

2. Так как $M$ — середина стороны $AB$, то $BM = \frac{1}{2} AB$. Отсюда следует, что $\frac{BM}{AB} = \frac{1}{2}$.

3. Аналогично, так как $N$ — середина стороны $BC$, то $BN = \frac{1}{2} BC$. Отсюда следует, что $\frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы видим, что две стороны треугольника $MBN$ пропорциональны двум сторонам треугольника $ABC$, а угол между ними общий: $ \frac{BM}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{1}{2} $

По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ( $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ ). Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{2}$.

Из подобия этих треугольников следует:

- Равенство соответственных углов: $\angle BMN = \angle BAC$. Эти углы являются соответственными при прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$. Поскольку соответственные углы равны, то прямые $MN$ и $AC$ параллельны ( $MN \parallel AC$ ).

- Отношение длин соответственных сторон равно коэффициенту подобия: $\frac{MN}{AC} = k = \frac{1}{2}$. Из этого соотношения следует, что $MN = \frac{1}{2} AC$.

Теорема доказана.

Ответ: Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.