Номер 9, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 9, страница 159.

Условие.

9. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем в нем медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, где $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

Сначала докажем, что любые две медианы, например $AA_1$ и $BB_1$, пересекаясь в точке $O$, делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Так как $A_1$ — середина $BC$, а $B_1$ — середина $AC$, то отрезок $A_1B_1$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:$A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$.

• Угол $\angle OAB$ равен углу $\angle OA_1B_1$ как накрест лежащий при параллельных прямых $AB$ и $A_1B_1$ и секущей $AA_1$.
• Угол $\angle OBA$ равен углу $\angle OB_1A_1$ как накрест лежащий при тех же параллельных прямых и секущей $BB_1$.

Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность их сторон:$$ \frac{AO}{OA_1} = \frac{BO}{OB_1} = \frac{AB}{A_1B_1} $$Поскольку мы знаем, что $\frac{AB}{A_1B_1} = 2$, то получаем:$$ \frac{AO}{OA_1} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{BO}{OB_1} = 2 $$Это означает, что точка $O$ делит медианы $AA_1$ и $BB_1$ в отношении 2:1, считая от вершин $A$ и $B$.

Теперь докажем, что третья медиана $CC_1$ также проходит через эту точку $O$. Рассмотрим пересечение медиан $AA_1$ и $CC_1$. Пусть они пересекаются в некоторой точке $O'$. Аналогично предыдущим рассуждениям, рассмотрев среднюю линию $A_1C_1$, мы докажем, что точка $O'$ делит медиану $AA_1$ в отношении 2:1, считая от вершины $A$.

Таким образом, и точка $O$, и точка $O'$ делят один и тот же отрезок $AA_1$ в одном и том же отношении 2:1, считая от точки $A$. Поскольку такая точка на отрезке единственна, точки $O$ и $O'$ совпадают.

Это означает, что все три медианы треугольника пересекаются в одной и той же точке $O$, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.