Номер 16, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 16, страница 159.

Условие.

16 Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся понятием подобных треугольников.

Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ с прямым углом $\angle C = 90^\circ$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $\angle C_1 = 90^\circ$.

По условию задачи, острый угол одного треугольника равен острому углу другого. Пусть $\angle A = \angle A_1 = \alpha$.

Рассмотрим эти два треугольника. У них есть два равных угла:

1. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (так как треугольники прямоугольные).
2. $\angle A = \angle A_1 = \alpha$ (по условию).

Следовательно, $\triangle ABC$ подобен $\triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответствующих сторон равны. Обозначим стороны, лежащие против вершин $A, B, C$ как $a, b, c$, а стороны, лежащие против вершин $A_1, B_1, C_1$ как $a_1, b_1, c_1$. Тогда: $$ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k $$ где $k$ — коэффициент подобия. Отсюда мы можем выразить стороны одного треугольника через стороны другого: $a = k \cdot a_1$, $b = k \cdot b_1$, $c = k \cdot c_1$.

Теперь докажем равенство тригонометрических функций для угла $\alpha$.

Доказательство равенства синусов
По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
В $\triangle ABC$: $\sin\alpha = \sin\angle A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$.
В $\triangle A_1B_1C_1$: $\sin\alpha = \sin\angle A_1 = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a_1}{c_1}$.
Подставим выражения для $a$ и $c$ из соотношения подобия в формулу для $\sin\angle A$: $$ \sin\angle A = \frac{a}{c} = \frac{k \cdot a_1}{k \cdot c_1} = \frac{a_1}{c_1} $$ Мы видим, что $\sin\angle A = \frac{a_1}{c_1}$ и $\sin\angle A_1 = \frac{a_1}{c_1}$, следовательно, $\sin\angle A = \sin\angle A_1$.
Ответ: Равенство синусов доказано.

Доказательство равенства косинусов
По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
В $\triangle ABC$: $\cos\alpha = \cos\angle A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$.
В $\triangle A_1B_1C_1$: $\cos\alpha = \cos\angle A_1 = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b_1}{c_1}$.
Подставим выражения для $b$ и $c$ из соотношения подобия в формулу для $\cos\angle A$: $$ \cos\angle A = \frac{b}{c} = \frac{k \cdot b_1}{k \cdot c_1} = \frac{b_1}{c_1} $$ Мы видим, что $\cos\angle A = \frac{b_1}{c_1}$ и $\cos\angle A_1 = \frac{b_1}{c_1}$, следовательно, $\cos\angle A = \cos\angle A_1$.
Ответ: Равенство косинусов доказано.

Доказательство равенства тангенсов
По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике:
В $\triangle ABC$: $\tan\alpha = \tan\angle A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$.
В $\triangle A_1B_1C_1$: $\tan\alpha = \tan\angle A_1 = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a_1}{b_1}$.
Подставим выражения для $a$ и $b$ из соотношения подобия в формулу для $\tan\angle A$: $$ \tan\angle A = \frac{a}{b} = \frac{k \cdot a_1}{k \cdot b_1} = \frac{a_1}{b_1} $$ Мы видим, что $\tan\angle A = \frac{a_1}{b_1}$ и $\tan\angle A_1 = \frac{a_1}{b_1}$, следовательно, $\tan\angle A = \tan\angle A_1$.
Ответ: Равенство тангенсов доказано.

Таким образом, мы доказали, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны. Это показывает, что тригонометрические функции зависят только от величины угла, а не от размеров треугольника.