Номер 608, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 608, страница 160.

Условие.

608. На продолжении боковой стороны $OB$ равнобедренного треугольника $AOB$ с основанием $AB$ взята точка $C$ так, что точка $B$ лежит между точками $O$ и $C$. Отрезок $AC$ пересекает биссектрису угла $AOB$ в точке $M$. Докажите, что $AM < MC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся свойством биссектрисы угла в треугольнике. Рассмотрим треугольник $OAC$.

По условию, $OM$ является биссектрисой угла $AOB$. Так как точка $C$ лежит на продолжении стороны $OB$ за точку $B$, то лучи $OB$ и $OC$ совпадают. Следовательно, угол $AOC$ — это тот же угол, что и $AOB$. Таким образом, отрезок $OM$ является биссектрисой угла $AOC$ в треугольнике $OAC$.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применительно к треугольнику $OAC$ и его биссектрисе $OM$, это свойство выражается следующей пропорцией:

$ \frac{AM}{MC} = \frac{OA}{OC} $

Далее, проанализируем соотношение сторон $OA$ и $OC$.

Из условия задачи известно, что треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что его боковые стороны равны: $OA = OB$.

Точка $C$ лежит на продолжении стороны $OB$, причем точка $B$ находится между $O$ и $C$. Это означает, что длина отрезка $OC$ равна сумме длин отрезков $OB$ и $BC$: $OC = OB + BC$.

Поскольку $BC$ является длиной отрезка, его длина положительна ($BC > 0$). Отсюда следует, что $OC > OB$.

Используя ранее установленное равенство $OA = OB$, мы можем заменить $OB$ в последнем неравенстве на $OA$, что дает нам $OC > OA$, или $OA < OC$.

Теперь вернемся к нашей пропорции $ \frac{AM}{MC} = \frac{OA}{OC} $. Так как мы установили, что $OA < OC$, то отношение $ \frac{OA}{OC} $ будет меньше единицы.

Следовательно, $ \frac{AM}{MC} < 1 $.

Поскольку $AM$ и $MC$ — это длины отрезков, они являются положительными величинами. Мы можем умножить обе части неравенства на $MC$, не меняя знака неравенства, и получить искомое соотношение:

$ AM < MC $

Таким образом, мы доказали, что $AM < MC$.

Ответ: Утверждение доказано, $AM < MC$.