Номер 610, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 610, страница 160.

Условие.

610 Прямая, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, делит сторону $AC$ в отношении $2:7$, считая от вершины $A$. Найдите стороны отсечённого треугольника, если $AB=10$ см, $BC=18$ см, $CA=21,6$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $ABC$ дана прямая $MN$, параллельная стороне $AB$, где точка $M$ лежит на стороне $AC$, а точка $N$ — на стороне $BC$. Эта прямая отсекает от треугольника $ABC$ подобный ему треугольник $MNC$.

Докажем подобие треугольников $MNC$ и $ABC$:

1. Угол $C$ является общим для обоих треугольников.
2. Так как прямая $MN$ параллельна $AB$ ($MN \parallel AB$), то соответственные углы при секущей $AC$ равны: $\angle CMN = \angle CAB$. Аналогично, при секущей $BC$: $\angle CNM = \angle CBA$.

Следовательно, треугольник $MNC$ подобен треугольнику $ABC$ по трём углам ($\triangle MNC \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$:

$k = \frac{MC}{AC} = \frac{NC}{BC} = \frac{MN}{AB}$

По условию задачи, прямая $MN$ делит сторону $AC$ в отношении $2:7$, считая от вершины $A$. Это означает, что $AM : MC = 2 : 7$.

Всю сторону $AC$ можно представить как сумму отрезков $AM$ и $MC$. Если принять длину $AM$ за $2x$, то длина $MC$ будет равна $7x$. Тогда вся сторона $AC = AM + MC = 2x + 7x = 9x$.

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$ как отношение соответствующей стороны меньшего треугольника ($MC$) к стороне большего треугольника ($AC$):

$k = \frac{MC}{AC} = \frac{7x}{9x} = \frac{7}{9}$

Зная коэффициент подобия и длины сторон треугольника $ABC$ ($AB = 10$ см, $BC = 18$ см, $CA = 21,6$ см), найдём стороны отсечённого треугольника $MNC$.

1. Найдём сторону $MC$, соответствующую стороне $AC$:

$MC = k \cdot AC = \frac{7}{9} \cdot 21,6 = 7 \cdot 2,4 = 16,8$ см.

2. Найдём сторону $NC$, соответствующую стороне $BC$:

$NC = k \cdot BC = \frac{7}{9} \cdot 18 = 7 \cdot 2 = 14$ см.

3. Найдём сторону $MN$, соответствующую стороне $AB$:

$MN = k \cdot AB = \frac{7}{9} \cdot 10 = \frac{70}{9} = 7\frac{7}{9}$ см.

Ответ: стороны отсечённого треугольника равны 16,8 см, 14 см и $7\frac{7}{9}$ см.