Номер 617, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 617, страница 160.

Условие.

617 Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан ромб $ABCD$. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ как $K, L, M, N$ соответственно. Требуется доказать, что четырехугольник $KLMN$ является прямоугольником.

1. Докажем, что KLMN — параллелограмм.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $K$ — середина стороны $AB$ и $L$ — середина стороны $BC$, то отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии треугольника, $KL$ параллельна стороне $AC$ и равна ее половине:$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $N$ — середина стороны $AD$ и $M$ — середина стороны $CD$, то отрезок $NM$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно:$NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.

Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel NM$ и $KL = NM$. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $KLMN$ — параллелограмм.

2. Докажем, что параллелограмм KLMN — прямоугольник.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ является его средней линией, так как соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $KN \parallel BD$.

Мы уже установили, что $KL \parallel AC$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Поскольку $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$, угол между прямыми $KL$ и $KN$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$. Так как $AC \perp BD$, то и $KL \perp KN$. Это означает, что угол $\angle LKN$ является прямым: $\angle LKN = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Следовательно, четырехугольник $KLMN$ — прямоугольник.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, образованный серединами сторон ромба, является параллелограммом ($KL \parallel NM$, $KN \parallel LM$), а так как диагонали ромба перпендикулярны ($AC \perp BD$), то смежные стороны этого параллелограмма также перпендикулярны ($KL \perp KN$), что делает его прямоугольником.