Номер 618, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 618, страница 161.

Условие.

618. Точки $M$ и $N$ являются соответственно серединами сторон $CD$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что прямые $AM$ и $AN$ делят диагональ $BD$ на три равные части.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм.
$M$ — середина стороны $CD$.
$N$ — середина стороны $BC$.

Доказать:

Прямые $AM$ и $AN$ делят диагональ $BD$ на три равные части.

Доказательство:

Пусть прямая $AN$ пересекает диагональ $BD$ в точке $Q$, а прямая $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $P$. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма пересекаются в точке $O$.

По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Таким образом, $AO = OC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$.
Поскольку $N$ — середина стороны $BC$ (по условию), отрезок $AN$ является медианой треугольника $ABC$.
Поскольку $O$ — середина стороны $AC$, отрезок $BO$ также является медианой треугольника $ABC$.
Точка $Q$ является точкой пересечения медиан $AN$ и $BO$. Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом.
По свойству центроида, он делит медианы в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, $BQ : QO = 2:1$.
Отсюда следует, что $BQ = \frac{2}{3}BO$. Так как $BO = \frac{1}{2}BD$, получаем $BQ = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BD = \frac{1}{3}BD$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ACD$.
Поскольку $M$ — середина стороны $CD$ (по условию), отрезок $AM$ является медианой треугольника $ACD$.
Поскольку $O$ — середина стороны $AC$, отрезок $DO$ также является медианой треугольника $ACD$.
Точка $P$ является точкой пересечения медиан $AM$ и $DO$.
Следовательно, $P$ — центроид треугольника $ACD$. По свойству центроида, $DP : PO = 2:1$.
Отсюда следует, что $DP = \frac{2}{3}DO$. Так как $DO = \frac{1}{2}BD$, получаем $DP = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}BD = \frac{1}{3}BD$.

3. Найдем длину отрезка $PQ$.
Длина всей диагонали $BD$ равна сумме длин ее частей: $BD = BQ + PQ + DP$.
Подставив найденные значения, получим: $BD = \frac{1}{3}BD + PQ + \frac{1}{3}BD$.
$BD = \frac{2}{3}BD + PQ$.
$PQ = BD - \frac{2}{3}BD = \frac{1}{3}BD$.

Таким образом, мы доказали, что $BQ = \frac{1}{3}BD$, $PQ = \frac{1}{3}BD$ и $DP = \frac{1}{3}BD$.
Это означает, что $BQ = PQ = DP$, то есть прямые $AM$ и $AN$ делят диагональ $BD$ на три равные части, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AM$ и $AN$ делят диагональ $BD$ на три равные части.