Номер 622, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 622, страница 161.

Условие.

622 На стороне $AD$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $K$ так, что $AK = \frac{1}{4}KD$. Диагональ $AC$ и отрезок $BK$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если площадь треугольника $APK$ равна $1 \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ выбрана точка $K$ таким образом, что выполняется соотношение $AK = \frac{1}{4}KD$. Диагональ $AC$ и отрезок $BK$ пересекаются в точке $P$. По условию, площадь треугольника $APK$ равна 1 см², то есть $S_{APK} = 1$ см².

Рассмотрим треугольники $\triangle APK$ и $\triangle CPB$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Следовательно, $AK \parallel BC$. Углы $\angle KAC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$, поэтому они равны. Углы $\angle APK$ и $\angle CPB$ равны как вертикальные. Таким образом, $\triangle APK$ и $\triangle CPB$ подобны по двум углам.

Найдем коэффициент подобия этих треугольников. Из условия $AK = \frac{1}{4}KD$ следует, что $KD = 4AK$. Тогда сторона $AD$ параллелограмма равна $AD = AK + KD = AK + 4AK = 5AK$. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, $BC = AD = 5AK$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{AK}{BC} = \frac{AK}{5AK} = \frac{1}{5}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия: $\frac{S_{APK}}{S_{CPB}} = k^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$. Используя известное значение $S_{APK} = 1$ см², найдем площадь треугольника $CPB$: $S_{CPB} = 25 \cdot S_{APK} = 25 \cdot 1 = 25$ см².

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle APB$ и $\triangle CPB$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований $AP$ и $PC$. Из подобия треугольников $\triangle APK$ и $\triangle CPB$ следует, что $\frac{AP}{PC} = k = \frac{1}{5}$. Значит, $\frac{S_{APB}}{S_{CPB}} = \frac{AP}{PC} = \frac{1}{5}$. Отсюда находим площадь треугольника $APB$: $S_{APB} = \frac{1}{5} S_{CPB} = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5$ см².

Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $APB$ и $CPB$, на которые он разделен отрезком $BP$: $S_{ABC} = S_{APB} + S_{CPB} = 5 \text{ см²} + 25 \text{ см²} = 30 \text{ см²}$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Следовательно, площадь параллелограмма $ABCD$ вдвое больше площади треугольника $ABC$: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot 30 = 60$ см².

Ответ: 60 см².