Номер 624, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 624, страница 161.

Условие.

624. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем в нем медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, которые пересекаются в точке $M$. Эти медианы разбивают треугольник $ABC$ на шесть меньших треугольников: $\triangle AMC_1$, $\triangle C_1MB$, $\triangle BMA_1$, $\triangle A_1MC$, $\triangle CMB_1$ и $\triangle B_1MA$. Нам нужно доказать, что площади этих шести треугольников равны.

Для доказательства воспользуемся свойством медианы: медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих). Это следует из формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2}ah$, так как у этих двух треугольников будут равные основания (медиана делит сторону пополам) и общая высота, проведенная из общей вершины.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$ и его медиану $AA_1$. Она делит его на два треугольника с равными площадями:
   $S_{\triangle ABA_1} = S_{\triangle ACA_1}$, так как у них равные основания $BA_1 = CA_1$ и общая высота из вершины $A$.
2. Теперь рассмотрим треугольник $MBC$. Отрезок $MA_1$ является его медианой, так как $A_1$ — середина стороны $BC$. Следовательно:
   $S_{\triangle MBA_1} = S_{\triangle MCA_1}$, так как у них равные основания $BA_1 = CA_1$ и общая высота из вершины $M$.
3. Вычтем равенство из пункта 2 из равенства из пункта 1:
   $S_{\triangle ABA_1} - S_{\triangle MBA_1} = S_{\triangle ACA_1} - S_{\triangle MCA_1}$
   Из чертежа видно, что разность площадей в левой части равна площади треугольника $ABM$, а в правой — площади треугольника $ACM$. Таким образом:
   $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle ACM}$
4. Аналогично, рассмотрев медиану $BB_1$ в треугольниках $ABC$ и $AMC$, можно доказать, что:
   $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$
5. Из пунктов 3 и 4 следует, что площади трех треугольников, образованных точкой пересечения медиан и вершинами исходного треугольника, равны:
   $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle ACM} = S_{\triangle CBM}$
6. Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $MC_1$ является его медианой, так как $C_1$ — середина стороны $AB$. Значит, он делит $\triangle ABM$ на два равновеликих треугольника:
   $S_{\triangle AMC_1} = S_{\triangle BMC_1} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABM}$
7. Аналогично, $MA_1$ — медиана в $\triangle CBM$, поэтому:
   $S_{\triangle BMA_1} = S_{\triangle CMA_1} = \frac{1}{2}S_{\triangle CBM}$
8. И $MB_1$ — медиана в $\triangle ACM$, поэтому:
   $S_{\triangle AMB_1} = S_{\triangle CMB_1} = \frac{1}{2}S_{\triangle ACM}$
9. Так как $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle ACM} = S_{\triangle CBM}$ (из пункта 5), то и половины их площадей равны. Следовательно, площади всех шести малых треугольников равны между собой:
   $S_{\triangle AMC_1} = S_{\triangle BMC_1} = S_{\triangle BMA_1} = S_{\triangle CMA_1} = S_{\triangle AMB_1} = S_{\triangle CMB_1}$

Таким образом, мы доказали, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Утверждение, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны, является верным. Более того, площади всех шести треугольников равны между собой, и каждая составляет $\frac{1}{6}$ от площади исходного треугольника.