Номер 627, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 627, страница 161.

Условие.

627 Дан треугольник $ABC$. Постройте треугольник $A_1B_1C_1$, подобный треугольнику $ABC$, площадь которого в два раза больше площади треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется построить треугольник $A_1B_1C_1$, подобный треугольнику $ABC$, такой, что его площадь $S_{A_1B_1C_1}$ в два раза больше площади $S_{ABC}$ данного треугольника.

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2$

По условию задачи, $\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = 2$. Следовательно, $k^2 = 2$, откуда коэффициент подобия $k = \sqrt{2}$.

Это означает, что стороны искомого треугольника $A_1B_1C_1$ должны быть в $\sqrt{2}$ раз длиннее соответствующих сторон треугольника $ABC$. То есть, $A_1B_1 = AB \cdot \sqrt{2}$, $B_1C_1 = BC \cdot \sqrt{2}$ и $A_1C_1 = AC \cdot \sqrt{2}$.

Задача сводится к построению треугольника по одной стороне и двум прилежащим углам, где эта сторона имеет длину, равную длине одной из сторон исходного треугольника, умноженной на $\sqrt{2}$.

Алгоритм построения:

1. Сначала построим отрезок, длина которого равна $AC \cdot \sqrt{2}$. Для этого на стороне $AC$ как на катете построим прямоугольный равнобедренный треугольник $ACD$ с прямым углом при вершине $A$ (т.е. построим перпендикуляр к прямой $AC$ в точке $A$ и отложим на нем отрезок $AD = AC$). Гипотенуза $CD$ этого треугольника по теореме Пифагора будет равна $\sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{AC^2 + AC^2} = \sqrt{2AC^2} = AC \cdot \sqrt{2}$.
2. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $A_1C_1$, равный построенному отрезку $CD$.
3. От луча $A_1C_1$ в одной полуплоскости построим угол, равный углу $BAC$ исходного треугольника, с вершиной в точке $A_1$.
4. От луча $C_1A_1$ в той же полуплоскости построим угол, равный углу $BCA$ исходного треугольника, с вершиной в точке $C_1$.
5. Лучи, построенные в пунктах 3 и 4, пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $B_1$.

Треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым.

Доказательство:

В построенном треугольнике $A_1B_1C_1$ по построению $\angle B_1A_1C_1 = \angle BAC$ и $\angle B_1C_1A_1 = \angle BCA$. Следовательно, треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон: $k = \frac{A_1C_1}{AC}$.

По построению $A_1C_1 = CD = AC \cdot \sqrt{2}$, значит, $k = \frac{AC \cdot \sqrt{2}}{AC} = \sqrt{2}$.

Отношение площадей этих треугольников равно $k^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. Таким образом, $S_{A_1B_1C_1} = 2 \cdot S_{ABC}$, что и требовалось.

Ответ: Построенный треугольник $A_1B_1C_1$ подобен данному треугольнику $ABC$, и его площадь в два раза больше площади треугольника $ABC$.