Номер 634, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 634, страница 166.

Условие.

634 Радиус $OM$ окружности с центром $O$ делит хорду $AB$ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку $M$, параллельна хорде $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть K — точка пересечения радиуса OM и хорды AB. Согласно условию, радиус OM делит хорду AB пополам. Это означает, что точка K является серединой хорды AB, то есть $AK = KB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Стороны OA и OB являются радиусами одной и той же окружности, следовательно, $OA = OB$. Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием AB.

Отрезок OK соединяет вершину O равнобедренного треугольника с серединой K основания AB. По определению, OK является медианой треугольника $\triangle AOB$.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок OK перпендикулярен основанию AB, то есть $OK \perp AB$.

Поскольку точка K лежит на прямой, содержащей радиус OM, то и сама эта прямая перпендикулярна хорде AB.$$ OM \perp AB $$

Пусть $l$ — касательная к окружности, проведенная через точку M. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В данном случае радиус OM проведен в точку касания M.$$ OM \perp l $$

Таким образом, мы установили, что хорда AB и касательная $l$ перпендикулярны одной и той же прямой OM. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, хорда AB параллельна касательной $l$.$$ AB \parallel l $$Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.