Номер 635, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 635, страница 166.

Условие.

635 □ Через точку A окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — точка на окружности, через которую проведены касательная и хорда $AB$. По условию задачи, длина хорды равна радиусу, то есть $AB = R$. Необходимо найти угол между касательной и хордой.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Две его стороны, $OA$ и $OB$, являются радиусами окружности, поэтому $OA = R$ и $OB = R$. По условию, третья сторона $AB$ также равна радиусу: $AB = R$.

2. Так как все три стороны треугольника $\triangle OAB$ равны ($OA = OB = AB = R$), этот треугольник является равносторонним.

3. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle OAB = 60^\circ$.

4. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае радиус $OA$ перпендикулярен касательной, проходящей через точку $A$. Таким образом, угол между радиусом $OA$ и касательной равен $90^\circ$.

5. Искомый угол между касательной и хордой $AB$ — это угол, который можно вычислить как разность между углом, образованным касательной и радиусом $OA$, и углом $\angle OAB$.

Угол между касательной и хордой $= \text{Угол между касательной и радиусом } OA - \angle OAB$.

Угол между касательной и хордой $= 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Касательная и хорда образуют два угла, один из которых острый ($30^\circ$), а другой тупой ($180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$). Как правило, под углом между ними подразумевается меньший из двух.

Ответ: $30^\circ$.