Номер 629, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 629, страница 161.

Условие.

629. Постройте треугольник, если даны середины его сторон.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны три точки $M$, $N$ и $P$, являющиеся серединами сторон искомого треугольника $ABC$. Предположим, что $M$ — середина стороны $BC$, $N$ — середина $AC$, и $P$ — середина $AB$. В этом случае отрезки $MN$, $NP$ и $PM$ являются средними линиями треугольника $ABC$.

Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине. Таким образом, мы имеем следующие параллельности: $MN \parallel AB$, $NP \parallel BC$ и $PM \parallel AC$.

Это свойство позволяет нам выполнить построение. Сначала соединим данные точки $M$, $N$ и $P$ отрезками. Затем через каждую из этих точек проведём прямую, параллельную отрезку, соединяющему две другие точки. То есть, через точку $M$ проведём прямую, параллельную $NP$; через $N$ — прямую, параллельную $MP$; и через $P$ — прямую, параллельную $MN$.

Точки пересечения этих трёх прямых и будут вершинами искомого треугольника $ABC$. Обозначим точку пересечения прямых, проходящих через $N$ и $P$, как $A$. Точку пересечения прямых, проходящих через $M$ и $P$, как $B$. Точку пересечения прямых, проходящих через $M$ и $N$, как $C$.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым. Рассмотрим, например, четырёхугольник $APMN$. По построению, сторона $AP$ параллельна $MN$, а сторона $AN$ параллельна $PM$. Значит, четырёхугольник $APMN$ — параллелограмм. Аналогично, $PBMN$ — также параллелограмм, так как $PB \parallel MN$ и $BM \parallel PN$.

Из того, что $APMN$ и $PBMN$ — параллелограммы, следует, что их противоположные стороны равны: $AP = MN$ и $PB = MN$. Отсюда $AP = PB$, что означает, что точка $P$ является серединой стороны $AB$.

Точно так же, рассматривая соответствующие пары параллелограммов, доказывается, что $N$ — середина $AC$, и $M$ — середина $BC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Через каждую из данных точек провести прямую, параллельную прямой, соединяющей две другие данные точки. Вершины искомого треугольника являются точками пересечения этих трёх прямых.