Номер 625, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 625, страница 161.

Условие.

625 □ Основание $AD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ в 5 раз больше основания $BC$. Высота $BH$ пересекает диагональ $AC$ в точке $M$, площадь треугольника $AMH$ равна $4 \text{ см}^2$. Найдите площадь трапеции $ABCD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть длина меньшего основания трапеции $BC = x$. Согласно условию, длина большего основания $AD$ в 5 раз больше, следовательно, $AD = 5x$.

Трапеция $ABCD$ является равнобедренной. Высота $BH$, опущенная из вершины $B$ на основание $AD$, отсекает на нем отрезок $AH$. Длину этого отрезка можно найти по формуле для равнобедренной трапеции:$AH = \frac{AD - BC}{2}$Подставим значения оснований:$AH = \frac{5x - x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x$

Рассмотрим треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle CMB$. Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), а значит, $BC \parallel AH$.1. $\angle MAH = \angle MCB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.2. $\angle HMA = \angle BMC$ как вертикальные углы. Следовательно, треугольники $\triangle AMH$ и $\triangle CMB$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. В частности, отношение высот (отрезков высоты $BH$) равно отношению оснований, на которые они опираются:$\frac{HM}{BM} = \frac{AH}{BC}$Подставим известные выражения для $AH$ и $BC$:$\frac{HM}{BM} = \frac{2x}{x} = 2$Отсюда получаем, что $HM = 2 \cdot BM$.

Высота трапеции $BH$ состоит из двух отрезков: $BH = BM + HM$. Заменив $BM$ через $HM$, получим:$BH = \frac{HM}{2} + HM = \frac{3}{2}HM$, или $HM = \frac{2}{3}BH$.

Площадь треугольника $AMH$ нам дана: $S_{AMH} = 4$ см². Так как $BH$ – высота трапеции, то $\triangle AMH$ является прямоугольным с катетами $AH$ и $HM$. Его площадь равна:$S_{AMH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot HM$Подставим в эту формулу найденные ранее выражения для $AH$ и $HM$:$4 = \frac{1}{2} \cdot (2x) \cdot \left(\frac{2}{3}BH\right)$$4 = x \cdot \frac{2}{3}BH$$4 = \frac{2}{3}(x \cdot BH)$

Из последнего уравнения выразим произведение $x \cdot BH$:$x \cdot BH = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

Теперь найдем площадь трапеции $ABCD$, формула которой:$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH$Подставим выражения для оснований через $x$:$S_{ABCD} = \frac{5x + x}{2} \cdot BH = \frac{6x}{2} \cdot BH = 3 \cdot (x \cdot BH)$Мы уже нашли, что $x \cdot BH = 6$. Подставим это значение в формулу площади трапеции:$S_{ABCD} = 3 \cdot 6 = 18$ см²

Ответ: 18 см².