Номер 620, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 620, страница 161.

Условие.

620 В треугольнике $ABC$ ($AB \neq AC$) через середину стороны $BC$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $A$, которая пересекает прямые $AB$ и $AC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Докажите, что $BD = CE$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $M$ — середина стороны $BC$ в треугольнике $ABC$. Обозначим биссектрису угла $A$ как $AL$. По условию, через точку $M$ проведена прямая $DE$ (где $D$ лежит на прямой $AB$, а $E$ — на прямой $AC$), параллельная $AL$. Требуется доказать, что отрезки $BD$ и $CE$ равны.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение: проведем через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AB$. Пусть эта прямая пересекает прямую $DE$ в точке $F$. Таким образом, мы имеем $CF \parallel AB$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BMD$ и $\triangle CMF$. В этих треугольниках:

• $BM = CM$, поскольку $M$ — середина стороны $BC$ по условию.
• $\angle BMD = \angle CMF$ как вертикальные углы.
• $\angle DBM = \angle FCM$ (или $\angle ABC = \angle BCF$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CF$ и секущей $BC$.

Следовательно, $\triangle BMD \cong \triangle CMF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, то есть $BD = CF$.

3. Теперь докажем, что треугольник $\triangle CFE$ является равнобедренным. Для этого нужно показать, что углы при его основании $EF$ равны, то есть $\angle CEF = \angle CFE$.

• Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$, тогда $\angle BAL = \angle CAL$.
• По условию задачи, прямая $DE \parallel AL$.
• Рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $AL$ и секущую $AC$. Соответственные углы при этих прямых равны: $\angle CEF = \angle CAL$.
• Рассмотрим те же параллельные прямые $DE$ и $AL$ и секущую $AB$. Соответственные углы равны: $\angle ADE = \angle BAL$.
• По нашему построению $CF \parallel AB$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $DE$. Накрест лежащие углы равны: $\angle CFE = \angle ADE$.

Собирая эти равенства вместе, получаем цепочку:
$\angle CEF = \angle CAL = \angle BAL = \angle ADE = \angle CFE$.
Отсюда следует, что $\angle CEF = \angle CFE$.

4. Так как в треугольнике $\triangle CFE$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $EF$. Значит, его боковые стороны равны: $CE = CF$.

5. В пункте 2 мы доказали, что $BD = CF$. В пункте 4 мы доказали, что $CE = CF$. Следовательно, мы можем заключить, что $BD = CE$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BD=CE$ доказано.