Номер 626, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 626, страница 161.

Условие.

626* Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AD}{A_1D_1}$, где $AD$ и $A_1D_1$ — биссектрисы треугольников.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию, $AD$ и $A_1D_1$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle B_1A_1C_1$ соответственно. Дано соотношение:

$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AD}{A_1D_1} $

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся вторым признаком подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). У нас уже есть пропорциональность двух сторон: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $. Осталось доказать, что угол между этими сторонами в одном треугольнике равен углу между соответствующими сторонами в другом, то есть $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Для этого воспользуемся формулой длины биссектрисы угла треугольника. Длина биссектрисы $l_a$ угла $A$, заключенного между сторонами $b$ и $c$, вычисляется по формуле:$l_a = \frac{2bc}{b+c}\cos(\frac{A}{2})$

Применим эту формулу для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$. Здесь $l_a = AD$, $b = AC$, $c = AB$, $A = \angle BAC$.$AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC} \cos(\frac{\angle BAC}{2})$

Аналогично для биссектрисы $A_1D_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$:$A_1D_1 = \frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1} \cos(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2})$

Из исходного соотношения введем коэффициент пропорциональности $k$:$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AD}{A_1D_1} = k $Тогда $AB = k \cdot A_1B_1$, $AC = k \cdot A_1C_1$ и $AD = k \cdot A_1D_1$.

Подставим эти выражения в формулу для $AD$:$ k \cdot A_1D_1 = \frac{2 \cdot (k \cdot A_1B_1) \cdot (k \cdot A_1C_1)}{k \cdot A_1B_1 + k \cdot A_1C_1} \cos(\frac{\angle BAC}{2}) $

Упростим полученное выражение:$ k \cdot A_1D_1 = \frac{2 \cdot k^2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{k(A_1B_1 + A_1C_1)} \cos(\frac{\angle BAC}{2}) $$ k \cdot A_1D_1 = k \cdot \frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1} \cos(\frac{\angle BAC}{2}) $

Поскольку стороны треугольников не равны нулю, $k \neq 0$. Сократим обе части на $k$:$ A_1D_1 = \frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1} \cos(\frac{\angle BAC}{2}) $

Теперь сравним это выражение с ранее записанной формулой для $A_1D_1$:$ \frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1} \cos(\frac{\angle BAC}{2}) = \frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1} \cos(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}) $

Отсюда следует, что:$ \cos(\frac{\angle BAC}{2}) = \cos(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}) $

Так как $\frac{\angle BAC}{2}$ и $\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}$ — это половины углов треугольника, они оба находятся в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. В этом интервале функция косинуса монотонно убывает, а значит, каждому значению косинуса соответствует единственное значение угла. Следовательно, из равенства косинусов следует равенство углов:$ \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\angle B_1A_1C_1}{2} $$ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ две стороны пропорциональны ($ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $) и углы между ними равны ($\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$). По второму признаку подобия треугольников, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними), что и требовалось доказать.