Номер 630, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 630, страница 161.

Условие.

630 ☐ Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения треугольника по стороне и двум медианам, проведенным к другим сторонам, воспользуемся свойством точки пересечения медиан. Пусть дан треугольник $ABC$, сторона $BC = a$, медиана к стороне $AC$ — $BE = m_b$, и медиана к стороне $AB$ — $CF = m_c$.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке $O$ (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, $BO = \frac{2}{3} m_b$ и $CO = \frac{2}{3} m_c$. Это позволяет нам рассмотреть вспомогательный треугольник $BOC$, у которого известны все три стороны: $BC=a$, $BO=\frac{2}{3}m_b$ и $CO=\frac{2}{3}m_c$. Построение искомого треугольника сводится к построению треугольника $BOC$ и последующему нахождению вершины $A$.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. С помощью циркуля и линейки делим данные отрезки $m_b$ и $m_c$ на три равные части (например, используя теорему Фалеса) и строим отрезки длиной $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$.
2. Строим треугольник $BOC$ по трем известным сторонам: откладываем отрезок $BC$ длиной $a$, затем из точек $B$ и $C$ проводим дуги окружностей радиусами $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$ соответственно. Точка пересечения дуг будет вершиной $O$. (Построение возможно, если эти длины удовлетворяют неравенству треугольника).
3. Находим середину стороны $AC$. Точка $E$ (середина $AC$) лежит на луче $BO$ на расстоянии $OE = \frac{1}{3}m_b$ от точки $O$. Так как $BO = \frac{2}{3}m_b$, то $OE = \frac{1}{2}BO$. Продлеваем отрезок $BO$ за точку $O$ и откладываем отрезок $OE$, равный половине $BO$.
4. Находим вершину $A$. Так как $E$ — середина $AC$, то точка $A$ симметрична точке $C$ относительно $E$. Проводим прямую через $C$ и $E$ и на ней откладываем отрезок $EA = CE$ так, чтобы $E$ оказалась между $C$ и $A$.
5. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$ по построению. Отрезок $BE$ является медианой, так как $E$ — середина $AC$. Его длина $BE = BO + OE = BO + \frac{1}{2}BO = \frac{3}{2}BO$. Подставляя $BO = \frac{2}{3}m_b$, получаем $BE = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}m_b = m_b$. Медиана из вершины $C$ к стороне $AB$ также будет иметь требуемую длину $m_c$, так как точка пересечения медиан $O$ делит медиану $CF$ в отношении 2:1, а отрезок $CO$ был построен равным $\frac{2}{3}m_c$, следовательно, вся медиана $CF$ будет равна $m_c$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построение выполняется путем построения вспомогательного треугольника $BOC$ со сторонами $a$, $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$. Затем на луче $BO$ за точкой $O$ откладывается отрезок $OE = \frac{1}{2}BO$. Вершина $A$ находится как точка, симметричная $C$ относительно точки $E$.