Номер 633, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 633, страница 166.

Условие.

633 Даны квадрат $OABC$, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке $O$ радиуса 5 см. Какие из прямых $OA, AB, BC$ и $AC$ являются секущими по отношению к этой окружности?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для определения, является ли прямая секущей по отношению к окружности, необходимо найти расстояние от центра окружности до этой прямой и сравнить его с радиусом.

Прямая является секущей, если расстояние $d$ от центра окружности до прямой меньше радиуса $R$. В данном случае центр окружности находится в точке $O$, а радиус $R = 5$ см. Сторона квадрата $OABC$ равна 6 см.

Для удобства расчетов разместим квадрат в системе координат. Пусть вершина $O$ совпадает с началом координат $(0, 0)$. Тогда, так как сторона квадрата равна 6, вершины будут иметь координаты: $O(0, 0)$, $A(6, 0)$, $B(6, 6)$ и $C(0, 6)$.

ОА

Прямая $OA$ проходит через центр окружности $O(0, 0)$. Расстояние от центра окружности до прямой, проходящей через него, равно нулю.

$d(O, OA) = 0$

Сравниваем это расстояние с радиусом окружности: $0 < 5$.

Так как расстояние до прямой меньше радиуса, прямая $OA$ является секущей.

Ответ: прямая $OA$ является секущей.

АВ

Прямая $AB$ проходит через точки $A(6, 0)$ и $B(6, 6)$. Это вертикальная прямая, уравнение которой $x = 6$. Расстояние от центра координат $O(0, 0)$ до этой прямой равно 6.

$d(O, AB) = 6$

Сравниваем это расстояние с радиусом окружности: $6 > 5$.

Так как расстояние до прямой больше радиуса, прямая $AB$ не пересекает окружность.

Ответ: прямая $AB$ не является секущей.

ВС

Прямая $BC$ проходит через точки $B(6, 6)$ и $C(0, 6)$. Это горизонтальная прямая, уравнение которой $y = 6$. Расстояние от центра координат $O(0, 0)$ до этой прямой равно 6.

$d(O, BC) = 6$

Сравниваем это расстояние с радиусом окружности: $6 > 5$.

Так как расстояние до прямой больше радиуса, прямая $BC$ не пересекает окружность.

Ответ: прямая $BC$ не является секущей.

АС

Прямая $AC$ проходит через точки $A(6, 0)$ и $C(0, 6)$. Уравнение этой прямой можно записать в виде $x + y - 6 = 0$. Найдем расстояние от центра $O(0, 0)$ до этой прямой по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

$d(O, AC) = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

Сравним расстояние $3\sqrt{2}$ с радиусом $R=5$. Для этого возведем оба числа в квадрат:

$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

$5^2 = 25$

Так как $18 < 25$, то $3\sqrt{2} < 5$.

Расстояние до прямой $AC$ меньше радиуса, следовательно, прямая $AC$ является секущей.

Ответ: прямая $AC$ является секущей.

Таким образом, секущими по отношению к данной окружности являются прямые $OA$ и $AC$.