Номер 636, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 636, страница 166.

Условие.

636 □ Через концы хорды $AB$, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке $C$. Найдите угол $ACB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть O — центр окружности, а R — её радиус.

Рассмотрим треугольник AOB. Стороны OA и OB являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R$. По условию задачи, длина хорды AB также равна радиусу R. Таким образом, мы имеем:
$OA = OB = AB = R$
Следовательно, треугольник AOB является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$, поэтому центральный угол $\angle AOB = 60^{\circ}$.

Теперь рассмотрим четырехугольник OACB, образованный радиусами OA, OB и касательными AC, BC.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Поскольку AC — касательная к окружности в точке A, то $OA \perp AC$, и, следовательно, $\angle OAC = 90^{\circ}$.
Аналогично, поскольку BC — касательная к окружности в точке B, то $OB \perp BC$, и, следовательно, $\angle OBC = 90^{\circ}$.

Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна $360^{\circ}$. Для четырехугольника OACB можем записать:
$\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^{\circ}$

Подставим известные значения углов в это равенство:
$60^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle ACB = 360^{\circ}$
$240^{\circ} + \angle ACB = 360^{\circ}$

Отсюда находим искомый угол ACB:
$\angle ACB = 360^{\circ} - 240^{\circ}$
$\angle ACB = 120^{\circ}$

Ответ: $120^{\circ}$.