Номер 623, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 623, страница 161.

Условие.

623 □ В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC

$\angle A = \angle B = 90^\circ$, $\angle ACD = 90^\circ$, $BC = 4 \text{ см}$, $AD = 16 \text{ см}$. Найдите углы C и D трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. Поскольку трапеция $ABCD$ — прямоугольная ($\angle A = \angle B = 90^{\circ}$) и $AD \parallel BC$, то четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником.

Из свойств прямоугольника следует, что $AH = BC = 4$ см.

Зная длину всего основания $AD$, найдем длину отрезка $HD$:
$HD = AD - AH = 16 - 4 = 12$ см.

Рассмотрим $\triangle ACD$. По условию задачи $\angle ACD = 90^{\circ}$, следовательно, это прямоугольный треугольник. $CH$ — высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $AD$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $CH^2 = AH \cdot HD$.

Подставим известные значения и вычислим длину высоты $CH$:
$CH^2 = 4 \cdot 12 = 48$
$CH = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle CHD$ ($\angle CHD = 90^{\circ}$) известны длины катетов $CH = 4\sqrt{3}$ см и $HD = 12$ см. Найдем угол $D$ трапеции, используя тангенс угла: $\text{tg}(\angle D) = \frac{CH}{HD} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значение тангенса $\frac{\sqrt{3}}{3}$ соответствует углу $30^{\circ}$. Таким образом, $\angle D = 30^{\circ}$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$. Для боковой стороны $CD$ имеем: $\angle C + \angle D = 180^{\circ}$.

Отсюда найдем угол $C$ трапеции:
$\angle C = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.

Ответ: $\angle C = 150^{\circ}$, $\angle D = 30^{\circ}$.