Номер 616, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 616, страница 160.

Условие.

616 Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Выберем одну из его средних линий, например, ту, что соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $AC$. Тогда отрезок $MN$ является средней линией треугольника, а прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, — это прямая, содержащая среднюю линию. Обозначим эту прямую как $l$. Требуется доказать, что вершины $A$, $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$.

По определению, средняя линия треугольника параллельна третьей стороне. В нашем случае, $MN \parallel BC$. Это означает, что прямая $l$ параллельна прямой, на которой лежит сторона $BC$. Расстояние от любой точки на прямой $BC$ до параллельной ей прямой $l$ будет одинаковым. Поскольку вершины $B$ и $C$ лежат на прямой $BC$, их расстояния до прямой $l$ равны. Обозначим это расстояние как $h_1$, то есть $d(B, l) = d(C, l) = h_1$.

Теперь найдем расстояние от вершины $A$ до прямой $l$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Так как $l \parallel BC$ и $AH \perp BC$, то высота $AH$ будет также перпендикулярна прямой $l$. Пусть $K$ — точка пересечения $AH$ и прямой $l$. Тогда длина отрезка $AK$ — это расстояние от вершины $A$ до прямой $l$, а длина отрезка $KH$ — это расстояние между параллельными прямыми $l$ и $BC$. Таким образом, $d(A, l) = AK$ и $h_1 = KH$. Нам осталось доказать, что $AK = KH$.

Рассмотрим треугольник $ABH$. В этом треугольнике точка $M$ является серединой стороны $AB$ (по построению), а отрезок $MK$ параллелен стороне $BH$ (поскольку $MK$ лежит на прямой $l$, а $BH$ — на прямой $BC$, и $l \parallel BC$). По теореме Фалеса, если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную другой стороне, то эта прямая пересечет третью сторону в ее середине. Следовательно, точка $K$ является серединой отрезка $AH$, что означает $AK = KH$.

Таким образом, мы установили, что расстояние от вершины $A$ до прямой $l$ равно $AK$, а расстояния от вершин $B$ и $C$ до прямой $l$ равны $KH$. Поскольку $AK = KH$, то все три расстояния равны: $d(A, l) = d(B, l) = d(C, l)$. Это доказывает, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию. Так как выбор средней линии был произвольным, утверждение справедливо для любой из трех средних линий треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Все вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей любую его среднюю линию.