Номер 605, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 605, страница 159.

Условие.

605 Диагональ AC трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что $AC^2 = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — основания трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $BC$ и $AD$ являются основаниями. Обозначим их длины как $a$ и $b$ соответственно, то есть $BC = a$ и $AD = b$.

По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

По условию задачи, диагональ $AC$ делит трапецию на два подобных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Поскольку треугольники подобны, их углы соответственно равны. Равенство $\angle BCA = \angle CAD$ означает, что эти углы являются соответственными в подобной паре. Это задает определенное соответствие между вершинами треугольников.

Рассмотрим возможные варианты подобия. Если бы подобие было вида $\triangle ABC \sim \triangle CDA$, то из равенства отношений соответственных сторон мы бы имели $\frac{BC}{DA} = \frac{AC}{CA} = 1$, что означало бы $a=b$. В этом случае трапеция была бы параллелограммом, а треугольники — конгруэнтными. Доказываемое равенство $AC^2=a \cdot b$ превратилось бы в $AC^2=a^2$, что в общем случае для параллелограмма неверно. Следовательно, этот вариант подобия не подходит для общего случая.

Значит, подобие должно иметь вид $\triangle ABC \sim \triangle DCA$. При таком подобии соответствие углов следующее: $\angle ABC = \angle DCA$, $\angle BCA = \angle CAD$ (что мы уже установили) и $\angle CAB = \angle ADC$.

Из подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle DCA$ следует пропорциональность их соответственных сторон:

$$ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DA} = \frac{AB}{DC} $$

Возьмем первую часть этой пропорции:

$$ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DA} $$

Подставим в нее длины оснований $a$ и $b$:

$$ \frac{a}{AC} = \frac{AC}{b} $$

По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$$ AC \cdot AC = a \cdot b $$

$$ AC^2 = a \cdot b $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC^2 = a \cdot b$ доказано.