Номер 13, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 13, страница 159.

Условие.

13 Расскажите, как определить на местности высоту предмета и расстояние до недоступной точки.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Определение высоты предмета (например, дерева)

Один из самых простых способов основан на принципе подобия треугольников. Для этого потребуется предмет с известной высотой (например, шест или веха) и рулетка для измерения расстояний.

Порядок действий:

1. Установите шест (обозначим его высоту как $h$) вертикально на некотором расстоянии от измеряемого предмета (высота $H$).
2. Отойдите от шеста по прямой линии, соединяющей основание предмета и основание шеста, до такой точки, чтобы, глядя из положения лежа (или сильно пригнувшись к земле), верхушка шеста визуально совпала с верхушкой измеряемого предмета.
3. В этой конфигурации образуются два подобных прямоугольных треугольника. Первый треугольник образован вашим глазом (вершина $E$), основанием шеста (вершина $C$) и верхушкой шеста (вершина $D$). Второй — вашим глазом (вершина $E$), основанием предмета (вершина $A$) и верхушкой предмета (вершина $B$).
4. Измерьте расстояние от вашей точки наблюдения $E$ до основания шеста ($EC$) и расстояние от точки наблюдения $E$ до основания измеряемого предмета ($EA$).
5. Из подобия треугольников $ECD$ и $EAB$ следует соотношение:
   $ \frac{AB}{CD} = \frac{EA}{EC} $ или $ \frac{H}{h} = \frac{EA}{EC} $
6. Отсюда можно выразить искомую высоту $H$:
   $ H = h \cdot \frac{EA}{EC} $

Ответ: Для определения высоты предмета $H$ нужно установить шест известной высоты $h$, найти точку, из которой верхушки шеста и предмета совпадают, измерить расстояния от этой точки до основания шеста ($EC$) и до основания предмета ($EA$) и рассчитать высоту по формуле $ H = h \cdot \frac{EA}{EC} $.

Определение расстояния до недоступной точки (например, до дерева на другом берегу реки)

Эта задача решается с помощью построения треугольника на доступной местности и использования тригонометрических соотношений, в частности, теоремы синусов. Понадобятся вешки для разметки точек и прибор для измерения углов (транспортир, компас или угломер).

Порядок действий:

1. Обозначим недоступную точку как $A$. На своем берегу выберите удобную для наблюдения точку $B$ и установите в ней вешку.
2. Выберите вторую точку $C$ на своем берегу так, чтобы из обеих точек ($B$ и $C$) была хорошо видна точка $A$. Расстояние между точками $B$ и $C$ (длину базиса) нужно измерить. Обозначим это расстояние $BC$.
3. С помощью угломерного прибора измерьте два угла:
   • Угол при вершине $B$ треугольника $ABC$, то есть $ \angle ABC $.
   • Угол при вершине $C$ треугольника $ABC$, то есть $ \angle BCA $.
4. Зная два угла в треугольнике, можно найти третий угол $ \angle BAC $, используя свойство о сумме углов треугольника:
   $ \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA $
5. Теперь, зная все три угла и одну сторону ($BC$), можно по теореме синусов найти искомое расстояние $AB$:
   $ \frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} $
   Отсюда:
   $ AB = \frac{BC \cdot \sin(\angle BCA)}{\sin(\angle BAC)} $

Ответ: Для определения расстояния до недоступной точки $A$ необходимо на доступной местности выбрать базис $BC$, измерить его длину, а также углы $ \angle ABC $ и $ \angle BCA $. Затем, вычислив третий угол $ \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA $, найти искомое расстояние по формуле теоремы синусов: $ AB = \frac{BC \cdot \sin(\angle BCA)}{\sin(\angle BAC)} $.