Номер 602, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 602, страница 158.

Условие.

602 ☐ Стороны прямоугольника равны 3 см и $\sqrt{3}$ см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $b = \sqrt{3}$ см. Диагональ делит этот прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника являются катетами этих треугольников, а диагональ — их гипотенузой.

Пусть $\alpha$ — это угол, который диагональ образует со стороной длиной 3 см. В прямоугольном треугольнике этот угол лежит против катета длиной $\sqrt{3}$ см. Для нахождения этого угла воспользуемся определением тангенса, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что тангенс угла $30^\circ$ равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$.

Пусть $\beta$ — это угол, который диагональ образует со стороной длиной $\sqrt{3}$ см. Этот угол лежит против катета длиной 3 см. Найдем его тангенс:

$\tan(\beta) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Тангенс угла $60^\circ$ равен $\sqrt{3}$. Следовательно, $\beta = 60^\circ$.

Проверить правильность вычислений можно, вспомнив, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$:
$\alpha + \beta = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, диагональ образует со сторонами прямоугольника углы $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.