Номер 598, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 598, страница 158.

Условие.

598 Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом $\alpha$ при основании, если:

а) боковая сторона равна $b$;

б) основание равно $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом при основании $\alpha$. Два угла при основании равны $\alpha$, тогда угол при вершине, противолежащей основанию, равен $180^\circ - 2\alpha$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}xy\sin\gamma$, где $x$ и $y$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашем случае $x = b$, $y = b$, а угол между ними равен $180^\circ - 2\alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha)$

Поскольку $\sin(180^\circ - \beta) = \sin\beta$, то $\sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$.

Следовательно, площадь треугольника равна:

$S = \frac{1}{2}b^2\sin(2\alpha)$

Ответ: $S = \frac{1}{2}b^2\sin(2\alpha)$.

б)

Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом при основании $\alpha$. Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$.

Высота делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. В этом прямоугольном треугольнике один катет — это высота $h$, другой катет — половина основания $\frac{a}{2}$, а угол, противолежащий высоте, равен $\alpha$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{a/2}$

Выразим высоту $h$:

$h = \frac{a}{2}\tan\alpha$

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a}{2}\tan\alpha\right) = \frac{a^2}{4}\tan\alpha$

Ответ: $S = \frac{a^2}{4}\tan\alpha$.