Номер 591, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 591, страница 157.

Условие.

591 Найдите синус, косинус и тангенс углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$ с прямым углом $C$, если:

а) $BC=8, AB=17;$

б) $BC=21, AC=20;$

в) $BC=1, AC=2;$

г) $AC=24, AB=25.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C даны катет $BC=8$ и гипотенуза $AB=17$.

Сначала найдем неизвестный катет AC, используя теорему Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.

Теперь мы можем найти синус, косинус и тангенс углов A и B.

Для угла A:

• Синус угла A (отношение противолежащего катета к гипотенузе): $sin(A) = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$.
• Косинус угла A (отношение прилежащего катета к гипотенузе): $cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$.
• Тангенс угла A (отношение противолежащего катета к прилежащему): $tan(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$.

Для угла B:

• Синус угла B: $sin(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$.
• Косинус угла B: $cos(B) = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$.
• Тангенс угла B: $tan(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$.

Ответ: $sin(A) = \frac{8}{17}, cos(A) = \frac{15}{17}, tan(A) = \frac{8}{15}$; $sin(B) = \frac{15}{17}, cos(B) = \frac{8}{17}, tan(B) = \frac{15}{8}$.

б)

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C даны катеты $BC=21$ и $AC=20$.

Сначала найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$.

Теперь найдем тригонометрические функции для углов A и B.

Для угла A:

• $sin(A) = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$.
• $cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$.
• $tan(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20}$.

Для угла B:

• $sin(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$.
• $cos(B) = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$.
• $tan(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21}$.

Ответ: $sin(A) = \frac{21}{29}, cos(A) = \frac{20}{29}, tan(A) = \frac{21}{20}$; $sin(B) = \frac{20}{29}, cos(B) = \frac{21}{29}, tan(B) = \frac{20}{21}$.

в)

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C даны катеты $BC=1$ и $AC=2$.

Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь найдем тригонометрические функции для углов A и B. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$.

Для угла A:

• $sin(A) = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
• $cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
• $tan(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$.

Для угла B:

• $sin(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
• $cos(B) = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
• $tan(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2$.

Ответ: $sin(A) = \frac{\sqrt{5}}{5}, cos(A) = \frac{2\sqrt{5}}{5}, tan(A) = \frac{1}{2}$; $sin(B) = \frac{2\sqrt{5}}{5}, cos(B) = \frac{\sqrt{5}}{5}, tan(B) = 2$.

г)

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C даны катет $AC=24$ и гипотенуза $AB=25$.

Найдем неизвестный катет BC по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{(25-24)(25+24)} = \sqrt{1 \cdot 49} = \sqrt{49} = 7$.

Теперь найдем синус, косинус и тангенс для углов A и B.

Для угла A:

• $sin(A) = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$.
• $cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$.
• $tan(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}$.

Для угла B:

• $sin(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$.
• $cos(B) = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$.
• $tan(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $sin(A) = \frac{7}{25}, cos(A) = \frac{24}{25}, tan(A) = \frac{7}{24}$; $sin(B) = \frac{24}{25}, cos(B) = \frac{7}{25}, tan(B) = \frac{24}{7}$.