Номер 595, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 595, страница 158.

Условие.

595 □ В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $b$, а прилежащий к нему угол равен $\alpha$.

а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через $b$ и $\alpha$.

б) Найдите их значения, если $b=12$ см, $\alpha=42^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть в прямоугольном треугольнике дан катет $b$ и прилежащий к нему острый угол $\alpha$. Обозначим второй катет как $a$, гипотенузу как $c$, а второй острый угол (прилежащий к катету $a$) как $\beta$.

1. Найдём второй острый угол $\beta$:
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
$\alpha + \beta = 90^\circ$
Следовательно, $\beta = 90^\circ - \alpha$.

2. Выразим второй катет $a$:
Тангенс угла $\alpha$ есть отношение противолежащего катета ($a$) к прилежащему ($b$).
$\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$
Отсюда, $a = b \cdot \tan(\alpha)$.

3. Выразим гипотенузу $c$:
Косинус угла $\alpha$ есть отношение прилежащего катета ($b$) к гипотенузе ($c$).
$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$
Отсюда, $c = \frac{b}{\cos(\alpha)}$.

Ответ: второй катет равен $b \cdot \tan(\alpha)$, прилежащий к нему острый угол равен $90^\circ - \alpha$, гипотенуза равна $\frac{b}{\cos(\alpha)}$.

б)

Подставим заданные значения $b = 12$ см и $\alpha = 42^\circ$ в полученные формулы.

1. Второй острый угол:
$90^\circ - \alpha = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$.

2. Второй катет:
$a = 12 \cdot \tan(42^\circ) \approx 12 \cdot 0.9004 \approx 10.80$ см.

3. Гипотенуза:
$c = \frac{12}{\cos(42^\circ)} \approx \frac{12}{0.7431} \approx 16.15$ см.

Ответ: второй катет $\approx 10.80$ см, прилежащий к нему острый угол $48^\circ$, гипотенуза $\approx 16.15$ см.