Номер 590, страница 154 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 590, страница 154.

Условие.

590 Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения прямоугольного треугольника по гипотенузе и отношению катетов используется метод подобия. Пусть дан отрезок $c$, равный гипотенузе, и два отрезка $m$ и $n$, задающие отношение катетов $a$ и $b$ ($a/b = m/n$).

Анализ

Идея построения заключается в том, чтобы сначала построить вспомогательный прямоугольный треугольник, подобный искомому, а затем, используя его, построить треугольник с заданной длиной гипотенузы. В качестве вспомогательного треугольника удобно взять прямоугольный треугольник, катеты которого равны данным отрезкам $m$ и $n$. Такой треугольник будет иметь требуемое отношение катетов. Затем, с помощью гомотетии или построения с параллельными прямыми, мы масштабируем этот треугольник так, чтобы его гипотенуза стала равна отрезку $c$.

Построение

1. Сначала построим вспомогательный прямоугольный треугольник $\triangle A_1B_1C_1$. Для этого строим прямой угол с вершиной в точке $C_1$, на его сторонах (лучах) откладываем отрезки $C_1A_1 = n$ и $C_1B_1 = m$ и соединяем точки $A_1$ и $B_1$.
2. На луче $A_1B_1$, исходящем из точки $A_1$, отложим отрезок $A_1B$, равный данной гипотенузе $c$.
3. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную катету $B_1C_1$.
4. Эта прямая пересечет луч $A_1C_1$ в некоторой точке $C$.
5. Треугольник $\triangle A_1BC$ является искомым.

Доказательство

По построению прямая $BC$ параллельна прямой $B_1C_1$. Эти две параллельные прямые пересекают стороны угла $\angle C_1A_1B_1$. Согласно обобщенной теореме Фалеса (или из подобия треугольников), треугольник $\triangle A_1BC$ подобен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$. Из подобия следует, что:

• Угол $\angle A_1CB$ равен углу $\angle A_1C_1B_1$, который является прямым. Следовательно, $\triangle A_1BC$ — прямоугольный.
• Гипотенуза $A_1B$ по построению равна $c$.
• Отношение катетов сохраняется: $BC/A_1C = B_1C_1/A_1C_1 = m/n$.

Таким образом, построенный треугольник $\triangle A_1BC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Если длины данных отрезков $c$, $m$ и $n$ больше нуля, то все шаги построения выполнимы и однозначны. Следовательно, задача всегда имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Искомый треугольник строится по приведенному алгоритму. Построение основано на создании вспомогательного прямоугольного треугольника с катетами $m$ и $n$ и его последующем масштабировании для получения гипотенузы длиной $c$.