Номер 593, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 593, страница 157.

Условие.

593 Найдите:

a) $ \sin \alpha $ и $ \operatorname{tg} \alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $;

б) $ \sin \alpha $ и $ \operatorname{tg} \alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{2}{3} $;

в) $ \cos \alpha $ и $ \operatorname{tg} \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

г) $ \cos \alpha $ и $ \operatorname{tg} \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{1}{4} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и определение тангенса $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Будем полагать, что $\alpha$ — острый угол, а значит, все его тригонометрические функции положительны.

а) Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$.
1. Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества:
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Поскольку $\sin \alpha > 0$, получаем $\sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем $\tg \alpha$ по определению:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tg \alpha = \sqrt{3}$.

б) Дано: $\cos \alpha = \frac{2}{3}$.
1. Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества:
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Поскольку $\sin \alpha > 0$, получаем $\sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
2. Найдем $\tg \alpha$ по определению:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tg \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

в) Дано: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
1. Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
Поскольку $\cos \alpha > 0$, получаем $\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
2. Найдем $\tg \alpha$ по определению:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\tg \alpha = \sqrt{3}$.

г) Дано: $\sin \alpha = \frac{1}{4}$.
1. Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Поскольку $\cos \alpha > 0$, получаем $\cos \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
2. Найдем $\tg \alpha$ по определению:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$.
Ответ: $\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\tg \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15}$.