Номер 587, страница 154 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 587, страница 154.

Условие.

587 Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения треугольника по двум заданным углам, назовем их $\alpha$ и $\beta$, и высоте $h_c$, проведенной из вершины третьего угла, будем действовать следующим образом. Пусть искомый треугольник — это $ABC$, в котором $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, а высота из вершины $C$ на сторону $AB$ (или ее продолжение) равна $h_c$.

Сначала проведем анализ задачи, чтобы разработать план построения. Пусть $CD$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на прямую, содержащую сторону $AB$. По определению высоты, $CD \perp AB$ и длина отрезка $CD$ равна $h_c$. Эта высота разделяет треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$ (этот случай соответствует острым углам $\alpha$ и $\beta$, когда точка $D$ лежит между $A$ и $B$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ нам известен катет $CD = h_c$ и угол $\angle A = \alpha$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то другой острый угол, $\angle ACD$, будет равен $90^\circ - \alpha$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle BDC$ известен катет $CD = h_c$ и угол $\angle B = \beta$. Следовательно, угол $\angle BCD$ равен $90^\circ - \beta$.

Таким образом, задача сводится к построению двух прямоугольных треугольников ($\triangle ADC$ и $\triangle BDC$) по общему катету $CD$ и прилежащим к нему острым углам. Объединив эти треугольники, мы получим искомый треугольник $ABC$.

На основе этого анализа можно составить следующий план построения:

1. Проводим произвольную прямую $l$. На ней будет лежать сторона $AB$ искомого треугольника.
2. Выбираем на прямой $l$ произвольную точку $D$, которая будет служить основанием высоты.
3. Через точку $D$ проводим прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$.
4. На прямой $m$ откладываем отрезок $DC$ так, чтобы его длина была равна заданной высоте $h_c$. Точка $C$ является вершиной искомого треугольника, из которой проведена высота.
5. Теперь находим вершины $A$ и $B$ на прямой $l$. От луча $CD$ откладываем угол $\angle DCA$, равный $90^\circ - \alpha$. Сторона этого угла, отличная от $CD$, пересечет прямую $l$ в точке $A$.
6. По другую сторону от луча $CD$ откладываем угол $\angle DCB$, равный $90^\circ - \beta$. Сторона этого угла, отличная от $CD$, пересечет прямую $l$ в точке $B$.
7. Соединив точки $A$, $B$ и $C$ отрезками, мы получаем искомый треугольник $ABC$.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи. По построению, $CD$ является перпендикуляром к прямой $AB$, и его длина равна $h_c$. Следовательно, $CD$ — это высота треугольника $ABC$ требуемой длины. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ (угол $\angle D = 90^\circ$) по построению угол $\angle ACD = 90^\circ - \alpha$. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что $\angle CAB = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle BDC$ (угол $\angle D = 90^\circ$) по построению угол $\angle BCD = 90^\circ - \beta$. Следовательно, $\angle CBA = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \beta) = \beta$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет два угла, равных заданным углам $\alpha$ и $\beta$, и высоту, проведенную из вершины третьего угла, равную $h_c$.

Задача имеет решение, если сумма данных углов меньше $180^\circ$ ($\alpha + \beta < 180^\circ$) и сами углы положительны. Описанный выше алгоритм построения предполагает, что углы $\alpha$ и $\beta$ острые. Если один из углов (например, $\alpha$) тупой, то основание высоты $D$ окажется на продолжении стороны $AB$ (вне отрезка $AB$). В этом случае угол $\angle DCA$ необходимо откладывать в ту же полуплоскость относительно прямой $CD$, что и угол $\angle DCB$.

Ответ: Треугольник строится путем последовательного построения двух прямоугольных треугольников, имеющих общий катет, равный заданной высоте. Другие катеты этих прямоугольных треугольников лежат на одной прямой и вместе с гипотенузами образуют искомый треугольник.