Номер 581, страница 153 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 581, страница 153.

Условие.

581 Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке 203. Луч света $FD$, отражаясь от зеркала в точке $D$, попадает в глаз человека (точку $B$). Определите высоту дерева, если $AC=165 \text{ см}$, $BC=12 \text{ см}$, $AD=120 \text{ см}$, $DE=4,8 \text{ м}$, $\angle 1=\angle 2$.

Зеркало

Рис. 203

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство подобных треугольников. Рассмотрим два треугольника, образованных на рисунке: `△ABD` и `△FED`.

Человек (отрезок `AB`) и дерево (отрезок `FE`) стоят перпендикулярно поверхности земли, на которой лежит зеркало. Следовательно, треугольники `△ABD` и `△FED` являются прямоугольными, где `∠A = 90°` и `∠E = 90°`.

Луч света `FD` отражается от зеркала в точке `D` и попадает в глаз человека в точке `B`. Согласно закону отражения света, угол падения равен углу отражения. В данном случае это означает, что углы, которые образуют лучи света с поверхностью зеркала, равны. По условию задачи дано, что `∠1 = ∠2`. В геометрии это углы `∠ADB` и `∠FDE` соответственно. Таким образом, `∠ADB = ∠FDE`.

Так как `∠A = ∠E = 90°` и `∠ADB = ∠FDE`, то треугольники `△ABD` и `△FED` подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно:

$$ \frac{AB}{FE} = \frac{AD}{DE} $$

Теперь найдем длины сторон из условия задачи. Сначала определим высоту глаз человека от земли (`AB`). По условию, рост человека до макушки (`AC`) равен 165 см, а расстояние от глаз до макушки (`BC`) равно 12 см. Следовательно, высота глаз от земли равна:

$AB = AC - BC = 165 \text{ см} - 12 \text{ см} = 153 \text{ см}$

Для удобства вычислений переведем все известные размеры в одну единицу измерения — метры:

• Высота глаз человека: $AB = 153 \text{ см} = 1.53 \text{ м}$
• Расстояние от человека до зеркала: $AD = 120 \text{ см} = 1.2 \text{ м}$
• Расстояние от зеркала до дерева: $DE = 4.8 \text{ м}$

Подставим эти значения в нашу пропорцию, чтобы найти высоту дерева `FE`:

$$ \frac{1.53}{FE} = \frac{1.2}{4.8} $$

Выразим `FE` из этой пропорции:

$$ FE = \frac{1.53 \times 4.8}{1.2} $$

Упростим дробь `4.8 / 1.2`:

$$ \frac{4.8}{1.2} = 4 $$

Теперь вычислим высоту дерева:

$$ FE = 1.53 \times 4 = 6.12 \text{ м} $$

Таким образом, высота дерева составляет 6,12 метра.

Ответ: 6,12 м.