Номер 574, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 574, страница 152.

Условие.

574 Докажите, что:

a) $h = \frac{ab}{c}$;

б) $\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства этих утверждений рассмотрим стандартные обозначения в прямоугольном треугольнике: пусть $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Пусть $h$ — высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, а $a_c$ и $b_c$ — проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.

а)

Площадь $S$ прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами. С одной стороны, она равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. С другой стороны, она равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch$. Поскольку оба выражения равны одной и той же площади, мы можем их приравнять:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$

Умножим обе части равенства на 2, чтобы избавиться от дробей:

$ab = ch$

Теперь выразим из этого равенства высоту $h$:

$h = \frac{ab}{c}$

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Одно из них гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Запишем это соотношение для каждого из катетов:

Для катета $a$: $a^2 = c \cdot a_c$

Для катета $b$: $b^2 = c \cdot b_c$

Из первого равенства выразим гипотенузу $c$:

$c = \frac{a^2}{a_c}$

Из второго равенства также выразим гипотенузу $c$:

$c = \frac{b^2}{b_c}$

Поскольку левые части полученных выражений равны (это одна и та же гипотенуза $c$), то должны быть равны и их правые части:

$\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано.