Номер 571, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 571, страница 152.

Условие.

571 В треугольнике $ABC$ медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $ABO$ равна $S$.

В задачах 572–574 использованы следующие обозначения для прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ и высотой $CH$: $BC = a$, $CA = b$, $AB = c$, $CH = h$, $AH = b_c$, $HB = a_c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

571

Пусть дан треугольник $ABC$. Медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Площадь треугольника $ABO$ равна $S$, то есть $S_{\triangle ABO} = S$.

Точка пересечения медиан треугольника (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, для медианы $AA_1$ справедливо соотношение:$AO : OA_1 = 2 : 1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle A_1BO$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AA_1$. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований.

Таким образом, мы можем записать:$\frac{S_{\triangle A_1BO}}{S_{\triangle ABO}} = \frac{OA_1}{AO} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим площадь треугольника $\triangle A_1BO$:$S_{\triangle A_1BO} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABO} = \frac{S}{2}$

Теперь найдем площадь треугольника $\triangle ABA_1$. Она равна сумме площадей треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle A_1BO$:$S_{\triangle ABA_1} = S_{\triangle ABO} + S_{\triangle A_1BO} = S + \frac{S}{2} = \frac{3S}{2}$

По определению, медиана $AA_1$ делит сторону $BC$ пополам. Свойство медианы заключается в том, что она делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. То есть, площадь треугольника $\triangle ABA_1$ равна половине площади треугольника $\triangle ABC$:$S_{\triangle ABA_1} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$

Из этого следует, что площадь треугольника $ABC$ в два раза больше площади треугольника $ABA_1$:$S_{\triangle ABC} = 2 \cdot S_{\triangle ABA_1} = 2 \cdot \frac{3S}{2} = 3S$

Ответ: $3S$