Номер 573, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 573, страница 152.

Условие.

573 Выразите $a_c$ и $b_c$ через $a$, $b$ и $c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Величины $a_c$ и $b_c$ представляют собой проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу $c$ соответственно.

$a_c$

Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Для катета $a$ это соотношение записывается в виде следующей пропорции:

$ \frac{c}{a} = \frac{a}{a_c} $

Применяя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем равенство:

$ a^2 = c \cdot a_c $

Из этого равенства выразим проекцию $a_c$:

$ a_c = \frac{a^2}{c} $

Ответ: $a_c = \frac{a^2}{c}$

$b_c$

Аналогичное метрическое соотношение справедливо и для катета $b$ и его проекции $b_c$:

$ \frac{c}{b} = \frac{b}{b_c} $

Отсюда получаем:

$ b^2 = c \cdot b_c $

Выражая проекцию $b_c$, находим:

$ b_c = \frac{b^2}{c} $

Для проверки можно сложить полученные выражения. Сумма проекций катетов должна быть равна гипотенузе: $a_c + b_c = c$.

$ \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c} = \frac{a^2 + b^2}{c} $

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике $a^2 + b^2 = c^2$. Подставив это в наше выражение, получаем:

$ \frac{c^2}{c} = c $

Равенство выполняется, что подтверждает правильность найденных формул.

Ответ: $b_c = \frac{b^2}{c}$