Номер 568, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 568, страница 152.

Условие.

568 Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:

а) прямоугольника;

б) равнобедренной трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Точки $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Четырехугольник $KLMN$ — искомый четырехугольник, образованный соединением этих точек. Необходимо доказать, что $KLMN$ — ромб.

Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Докажем, что $KL = LM = MN = NK$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По свойству средней линии треугольника, отрезок $KL$ параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $KL || AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

2. Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ADC$, поэтому $MN || AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$, поэтому $KN || BD$ и $KN = \frac{1}{2} BD$.

4. Наконец, в треугольнике $BCD$ отрезок $LM$ является средней линией, а значит $LM || BD$ и $LM = \frac{1}{2} BD$.

5. Основное свойство прямоугольника заключается в том, что его диагонали равны: $AC = BD$.

6. Сопоставив полученные равенства, имеем: $KL = MN = \frac{1}{2} AC$ $KN = LM = \frac{1}{2} BD$ Так как $AC = BD$, то и $\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD$. Следовательно, $KL = LM = MN = NK$.

Все стороны четырехугольника $KLMN$ равны, значит, по определению, $KLMN$ является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и равными боковыми сторонами $AB=CD$. Точки $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$ — ромб.

Доказательство аналогично предыдущему пункту и основывается на свойстве средней линии треугольника и свойстве диагоналей равнобедренной трапеции.

1. В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ является средней линией, следовательно $KL = \frac{1}{2} AC$.

2. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией, следовательно $KN = \frac{1}{2} BD$.

3. В треугольнике $BCD$ отрезок $LM$ является средней линией, следовательно $LM = \frac{1}{2} BD$.

4. В треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией, следовательно $MN = \frac{1}{2} AC$.

Таким образом, для сторон четырехугольника $KLMN$ справедливы равенства: $KL = MN = \frac{1}{2} AC$ и $KN = LM = \frac{1}{2} BD$.

По свойству равнобедренной трапеции, ее диагонали равны: $AC = BD$.

Из этого следует, что все стороны четырехугольника $KLMN$ равны между собой: $KL = LM = MN = NK$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, $KLMN$ — ромб. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.