Номер 562, страница 145 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 562, страница 145.

Условие.

562 В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $a$, а высота $CH$ равна $h$. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник $ABC$ так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне $AB$, а две другие — соответственно на сторонах $AC$ и $BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB = a$ и высота $CH = h$.

Пусть $KLMN$ — вписанный квадрат, у которого вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AB$, вершина $N$ — на стороне $AC$, а вершина $M$ — на стороне $BC$. Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $KL = MN = NK = LM = x$.

Поскольку сторона квадрата $MN$ параллельна стороне $KL$, которая лежит на прямой $AB$, то $MN \parallel AB$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $NMC$. Угол $C$ у них общий. Так как $MN \parallel AB$, то $\angle CNM = \angle CAB$ и $\angle CMN = \angle CBA$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AB$ и секущих $AC$ и $BC$ соответственно. Следовательно, треугольник $NMC$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам ($\triangle NMC \sim \triangle ABC$).

В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно отношению соответственных высот.

Основание треугольника $ABC$ равно $AB = a$, а его высота, проведенная к этому основанию, равна $CH = h$.

Основание треугольника $NMC$ равно $MN = x$. Найдем его высоту. Пусть $P$ — точка пересечения высоты $CH$ со стороной $MN$. Тогда $CP$ — высота треугольника $NMC$, проведенная к основанию $MN$. Длина отрезка $PH$ равна высоте квадрата, то есть $PH = NK = x$. Тогда длина высоты $CP$ равна $CH - PH = h - x$.

Из подобия треугольников следует пропорция:

$\frac{MN}{AB} = \frac{CP}{CH}$

Подставим известные значения:

$\frac{x}{a} = \frac{h-x}{h}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$x \cdot h = a \cdot (h - x)$

$xh = ah - ax$

$xh + ax = ah$

$x(h + a) = ah$

$x = \frac{ah}{a+h}$

Таким образом, сторона искомого квадрата равна $\frac{ah}{a+h}$.

Ответ: $\frac{ah}{a+h}$