Номер 561, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 561, страница 144.

Условие.

561 Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства того, что любые два равносторонних треугольника подобны, необходимо показать, что они удовлетворяют одному из признаков подобия треугольников. Рассмотрим два произвольных равносторонних треугольника: $△ABC$ со стороной $a$ и $△A_1B_1C_1$ со стороной $a_1$.

Доказательство по первому признаку подобия (по двум углам)

По определению, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. Следовательно, каждый угол равностороннего треугольника равен:

$180° \div 3 = 60°$

Таким образом, для треугольника $△ABC$ все углы равны $60°$:

$∠A = ∠B = ∠C = 60°$

Аналогично, для треугольника $△A_1B_1C_1$ все углы также равны $60°$:

$∠A_1 = ∠B_1 = ∠C_1 = 60°$

Согласно первому признаку подобия, два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. Сравним углы наших треугольников:

$∠A = ∠A_1 = 60°$

$∠B = ∠B_1 = 60°$

Так как два угла треугольника $△ABC$ равны двум углам треугольника $△A_1B_1C_1$, то эти треугольники подобны ($△ABC \sim △A_1B_1C_1$).

Поскольку мы рассматривали произвольные равносторонние треугольники, это доказывает, что любые два равносторонних треугольника подобны.

Доказательство по третьему признаку подобия (по трем сторонам)

По определению, в равностороннем треугольнике $△ABC$ все стороны равны $a$:

$AB = BC = CA = a$

В равностороннем треугольнике $△A_1B_1C_1$ все стороны равны $a_1$:

$A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = a_1$

Согласно третьему признаку подобия, два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам другого. Проверим это условие, найдя отношения длин соответствующих сторон:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{a}{a_1}$

$\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{a}{a_1}$

$\frac{CA}{C_1A_1} = \frac{a}{a_1}$

Все отношения равны: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = \frac{a}{a_1}$. Это означает, что стороны треугольников пропорциональны.

Следовательно, по третьему признаку подобия треугольники $△ABC$ и $△A_1B_1C_1$ подобны.

Оба способа доказывают, что любые два равносторонних треугольника подобны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.