Номер 566, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 566, страница 152.

Условие.

566 Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $APQ$ равен $21$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Дано, что в треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Это означает, что отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $ABC$.

По определению середины отрезка, длина стороны $AB$ в два раза больше длины отрезка $AP$, а длина стороны $AC$ в два раза больше длины отрезка $AQ$:
$AB = 2 \cdot AP$
$AC = 2 \cdot AQ$

По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины третьей стороны, которой она параллельна. Таким образом, длина стороны $BC$ в два раза больше длины средней линии $PQ$:
$BC = 2 \cdot PQ$

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон:
$P_{ABC} = AB + AC + BC$

Подставим в эту формулу выражения для сторон $AB$, $AC$ и $BC$ через отрезки $AP$, $AQ$ и $PQ$:
$P_{ABC} = 2 \cdot AP + 2 \cdot AQ + 2 \cdot PQ$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$P_{ABC} = 2 \cdot (AP + AQ + PQ)$

Сумма в скобках ($AP + AQ + PQ$) является периметром треугольника $APQ$ ($P_{APQ}$). По условию задачи, $P_{APQ} = 21$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $ABC$:
$P_{ABC} = 2 \cdot P_{APQ} = 2 \cdot 21 = 42$ см.

Ответ: 42 см.