Номер 570, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 570, страница 152.

Условие.

570. Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ равна 18 см. Середина $M$ стороны $AB$ соединена с вершиной $D$. Найдите отрезки, на которые делится диагональ $AC$ отрезком $DM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм.
$AC$ — диагональ, $AC = 18$ см.
$M$ — середина стороны $AB$, т.е. $AM = MB$.
Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $O$.

Найти:

Длины отрезков $AO$ и $OC$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COD$.

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$.

2. Углы $\angle OAM$ (он же $\angle CAB$) и $\angle OCD$ (он же $\angle ACD$) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.
$\angle OAM = \angle OCD$.

3. Углы $\angle AOM$ и $\angle COD$ равны как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COD$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $$ \frac{AO}{CO} = \frac{OM}{OD} = \frac{AM}{CD} $$

По условию $M$ — середина стороны $AB$, значит $AM = \frac{1}{2}AB$.
В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD$.
Тогда $AM = \frac{1}{2}CD$.

Подставим это соотношение в пропорцию: $$ \frac{AO}{CO} = \frac{\frac{1}{2}CD}{CD} = \frac{1}{2} $$ Из этого следует, что $CO = 2 \cdot AO$.

Диагональ $AC$ состоит из двух отрезков: $AC = AO + CO$.
Подставим известные значения: $$ 18 = AO + 2 \cdot AO $$ $$ 18 = 3 \cdot AO $$ $$ AO = \frac{18}{3} = 6 \text{ см} $$

Теперь найдем длину отрезка $CO$: $$ CO = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см} $$ Проверка: $AO + CO = 6 + 12 = 18$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: отрезок $DM$ делит диагональ $AC$ на отрезки длиной 6 см и 12 см.