Номер 572, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 572, страница 152.

Условие.

572 Найдите:

а) h, a и b, если $b_c=25, a_c=16$;

б) h, a и b, если $b_c=36, a_c=64$;

в) a, c и $a_c$, если $b=12, b_c=6$;

г) b, c и $b_c$, если $a=8, a_c=4$;

д) h, b, $a_c$ и $b_c$, если $a=6, c=9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

В этой задаче рассматривается прямоугольный треугольник, где $a$ и $b$ – катеты, $c$ – гипотенуза, $h$ – высота, проведенная к гипотенузе, $a_c$ и $b_c$ – проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.

Дано: $b_c = 25$, $a_c = 16$.

1. Найдем гипотенузу $c$ как сумму проекций катетов:

$c = a_c + b_c = 16 + 25 = 41$.

2. Найдем высоту $h$. Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

$h^2 = a_c \cdot b_c = 16 \cdot 25 = 400$.

$h = \sqrt{400} = 20$.

3. Найдем катет $a$. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:

$a^2 = c \cdot a_c = 41 \cdot 16 = 656$.

$a = \sqrt{656} = \sqrt{16 \cdot 41} = 4\sqrt{41}$.

4. Найдем катет $b$ по аналогичной формуле:

$b^2 = c \cdot b_c = 41 \cdot 25 = 1025$.

$b = \sqrt{1025} = \sqrt{25 \cdot 41} = 5\sqrt{41}$.

Ответ: $h = 20$, $a = 4\sqrt{41}$, $b = 5\sqrt{41}$.

б)

Дано: $b_c = 36$, $a_c = 64$.

1. Найдем гипотенузу $c$:

$c = a_c + b_c = 64 + 36 = 100$.

2. Найдем высоту $h$:

$h^2 = a_c \cdot b_c = 64 \cdot 36 = 2304$.

$h = \sqrt{2304} = 48$.

3. Найдем катет $a$:

$a^2 = c \cdot a_c = 100 \cdot 64 = 6400$.

$a = \sqrt{6400} = 80$.

4. Найдем катет $b$:

$b^2 = c \cdot b_c = 100 \cdot 36 = 3600$.

$b = \sqrt{3600} = 60$.

Ответ: $h = 48$, $a = 80$, $b = 60$.

в)

Дано: $b = 12$, $b_c = 6$.

1. Найдем гипотенузу $c$, используя соотношение $b^2 = c \cdot b_c$:

$12^2 = c \cdot 6$.

$144 = 6c$.

$c = \frac{144}{6} = 24$.

2. Найдем проекцию катета $a$ на гипотенузу, $a_c$:

$c = a_c + b_c \Rightarrow a_c = c - b_c = 24 - 6 = 18$.

3. Найдем катет $a$, используя соотношение $a^2 = c \cdot a_c$:

$a^2 = 24 \cdot 18 = 432$.

$a = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$.

Ответ: $a = 12\sqrt{3}$, $c = 24$, $a_c = 18$.

г)

Дано: $a = 8$, $a_c = 4$.

1. Найдем гипотенузу $c$ из соотношения $a^2 = c \cdot a_c$:

$8^2 = c \cdot 4$.

$64 = 4c$.

$c = \frac{64}{4} = 16$.

2. Найдем проекцию катета $b$ на гипотенузу, $b_c$:

$b_c = c - a_c = 16 - 4 = 12$.

3. Найдем катет $b$ из соотношения $b^2 = c \cdot b_c$:

$b^2 = 16 \cdot 12 = 192$.

$b = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$.

Ответ: $b = 8\sqrt{3}$, $c = 16$, $b_c = 12$.

д)

Дано: $a = 6$, $c = 9$.

1. Найдем катет $b$, используя теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$6^2 + b^2 = 9^2$.

$36 + b^2 = 81$.

$b^2 = 81 - 36 = 45$.

$b = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

2. Найдем проекцию катета $a$ на гипотенузу, $a_c$:

$a^2 = c \cdot a_c \Rightarrow 36 = 9 \cdot a_c$.

$a_c = \frac{36}{9} = 4$.

3. Найдем проекцию катета $b$ на гипотенузу, $b_c$:

$b_c = c - a_c = 9 - 4 = 5$.

4. Найдем высоту $h$:

$h^2 = a_c \cdot b_c = 4 \cdot 5 = 20$.

$h = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $h = 2\sqrt{5}$, $b = 3\sqrt{5}$, $a_c = 4$, $b_c = 5$.