Номер 576, страница 153 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 576, страница 153.

Условие.

576 □ Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как $6:5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан прямоугольный треугольник, $a$ и $b$ – его катеты, $c$ – гипотенуза. Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим эти отрезки как $a_c$ (проекция катета $a$) и $b_c$ (проекция катета $b$).

По условию задачи:

1. Отношение катетов равно $\frac{a}{b} = \frac{6}{5}$.
2. Один из отрезков гипотенузы на 11 см больше другого. Так как катет $a$ больше катета $b$, то и его проекция $a_c$ будет больше проекции $b_c$. Следовательно, $a_c = b_c + 11$.

В прямоугольном треугольнике справедливы следующие метрические соотношения:

$a^2 = c \cdot a_c$

$b^2 = c \cdot b_c$

Разделим первое соотношение на второе:

$\frac{a^2}{b^2} = \frac{c \cdot a_c}{c \cdot b_c} \implies \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a_c}{b_c}$

Подставим в это уравнение известное отношение катетов:

$\left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{a_c}{b_c}$

$\frac{36}{25} = \frac{a_c}{b_c}$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для нахождения $a_c$ и $b_c$:

$\begin{cases} \frac{a_c}{b_c} = \frac{36}{25} \\ a_c = b_c + 11 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{b_c + 11}{b_c} = \frac{36}{25}$

Решим это уравнение относительно $b_c$, используя свойство пропорции:

$25(b_c + 11) = 36b_c$

$25b_c + 275 = 36b_c$

$36b_c - 25b_c = 275$

$11b_c = 275$

$b_c = \frac{275}{11} = 25$ см.

Теперь найдем длину второго отрезка $a_c$:

$a_c = b_c + 11 = 25 + 11 = 36$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин ее отрезков:

$c = a_c + b_c = 36 + 25 = 61$ см.

Ответ: 61 см.