Номер 577, страница 153 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 577, страница 153.

Условие.

577 В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть стороны треугольника равны $a = 5$ см, $b = 12$ см и $c = 13$ см. Большая сторона треугольника равна 13 см.

Для начала определим вид треугольника. Проверим, выполняется ли для сторон треугольника теорема, обратная теореме Пифагора. Для этого сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны: $a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ см². $c^2 = 13^2 = 169$ см².

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, данный треугольник является прямоугольным. Стороны длиной 5 см и 12 см — это катеты, а большая сторона длиной 13 см — гипотенуза.

Высота, проведенная к большей стороне, является высотой, опущенной на гипотенузу. Эта высота делит гипотенузу на два отрезка, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим длины этих отрезков как $x$ и $y$.

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике).

Для катета, равного 5 см, и его проекции $x$ на гипотенузу (13 см) справедливо соотношение: $5^2 = 13 \cdot x$ $25 = 13x$ $x = \frac{25}{13}$ см.

Для катета, равного 12 см, и его проекции $y$ на гипотенузу (13 см) справедливо соотношение: $12^2 = 13 \cdot y$ $144 = 13y$ $y = \frac{144}{13}$ см.

Таким образом, высота делит большую сторону на отрезки, длины которых равны $\frac{25}{13}$ см и $\frac{144}{13}$ см. Для удобства можно представить эти значения в виде смешанных дробей: $1 \frac{12}{13}$ см и $11 \frac{1}{13}$ см.

Ответ: $\frac{25}{13}$ см и $\frac{144}{13}$ см.