Номер 575, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 575, страница 152.

Условие.

575 Катеты прямоугольного треугольника относятся как $3:4$, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию, катеты относятся как $3:4$, следовательно, можно записать их как $a = 3x$ и $b = 4x$ для некоторого положительного коэффициента $x$. Гипотенуза $c = 50$ мм.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$
$9x^2 + 16x^2 = 2500$
$25x^2 = 2500$
$x^2 = 100$
$x = 10$ мм.

Теперь найдём длины катетов:
$a = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ мм.
$b = 4x = 4 \cdot 10 = 40$ мм.

Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим эти отрезки (проекции) как $c_a$ и $c_b$.

Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:
$a^2 = c \cdot c_a$
$b^2 = c \cdot c_b$

Вычислим длину первого отрезка:
$c_a = \frac{a^2}{c} = \frac{30^2}{50} = \frac{900}{50} = 18$ мм.

Вычислим длину второго отрезка:
$c_b = \frac{b^2}{c} = \frac{40^2}{50} = \frac{1600}{50} = 32$ мм.

Проверка: $c_a + c_b = 18 + 32 = 50$ мм, что равно длине гипотенузы.

Ответ: 18 мм и 32 мм.